POJ2992 Divisors(因子个数）

Posted 2021-01-12 Fy1999

题意：给n和k，求组合C(n,k)的因子个数。

这道题，若一开始先预处理出C[i][j]的大小，再按普通方法枚举2~sqrt(C[i][j])来求解对应的因子个数，会TLE。
所以得用别的方法。

在说方法前，先说一个n!的性质：
n!的素因子分解中的素数p的个数为
n/p+n/(p^2)+...+n/(p^k)+...

《ACM-ICPC程序设计系列 数论及应用》上的方法，200+ms：
首先先求解435以内的素因子。
然后预处理出j!中每个素因子的个数，公式如下：
num[j][i]=j/prime[i]+num[j/prime[i]][i];

设n!中素因子p的个数为：a=n/p+n/(p^2)+...+n/(p^k)+...
那么(n/p)!中素因子p的个数为：b=n/(p^2)+...+n/(p^k)+...
很显然a=b+n/p，因此可以利用上述递推公式预处理出所有的j!中每个素因子的个数。

接下来就可以预处理出C(i,j)的因子个数，然后一切就好办了。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long

using namespace std;
const int maxn=435;
bool isprime[maxn];
int prime[maxn];
int num[maxn][maxn];
ll C[maxn][maxn];
int cnt=0;

void init()
{
    int cnt=0;
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(isprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i*2;j<maxn;j+=i){
                isprime[j]=false;
            }
        }
    }
    memset(num,0,sizeof(num));
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        for(int j=1;j<maxn;j++){
            num[j][i]=j/prime[i]+num[j/prime[i]][i];
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            C[i][j]=1;
            for(int k=0;k<cnt;k++)
            {
                int d=num[i][k]-num[i-j][k]-num[j][k];
                if(d)
                    C[i][j]*=d+1;
            }
        }
    }
}


int main()
{
    init();
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        if(n==k ||k==0)
            printf("1\n");
        else
            printf("%lld\n",C[n][k]);
    }
    return 0;
}