计数原理，递推，求从左边能看到l个棒子，右边能看到r个棒子的方案数目

Posted 2021-01-07 牛奶加咖啡~

题意

有高为 1， 2， …， n 的 n 根杆子排成一排， 从左向右能看到 L 根， 从右向左能看到 R 根。求有多少种可能的排列方式。

 

solution:

数据范围仅200，本来是往组合数学方面想的，看到了这个200就放弃了念头，果然是dp

定义dp[i][j][k]是用了高度为1~i的杆子，从左边能看到j个，从右边能看到k个

如果从1转移到n很困难，因为放一个高的杆子进去会造成很多的遮挡影响，是几乎不能维护的。于是考虑从n转移到1，即先放比较高的杆子

加上放好了2~n高度的杆子，再放高度为1的杆子仅有三种情况

1.放在最左边。仅仅是从左看能多看到一个 dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-1][k]

2.放在最右边，同理

3.放在中间，一定会被挡住。i-1根杆子间有（i-2）个，则dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k]*(i-2)。

其实这里i的定义已经发生了一点变化，但是状态转移是很容易理解的

为什么可以把i等效定义为i个，而不是1~i呢？其实这只需要代表是i根高度不同的杆子，2~i的杆子全部砍1，相对高度没有变，也就等效成了1~i-1的杆子

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<vector>
 5 #include<queue>
 6 #include<cstring>
 7 #define mp make_pair
 8 #define pb push_back
 9 #define first fi
10 #define second se
11 #define pw(x) (1ll << (x))
12 #define sz(x) ((int)(x).size())
13 #define all(x) (x).begin(),(x).end()
14 #define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<(r);i++)
15 #define per(i,r,l) for(int i=(r);i>=(l);i--)
16 #define FOR(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
17 #define eps 1e-9
18 #define PIE acos(-1)
19 #define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
20 #define fastio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
21 #define lson l , mid , ls
22 #define rson mid + 1 , r , rs
23 #define ls (rt<<1)
24 #define rs (ls|1)
25 #define INF 0x3f3f3f3f
26 #define LINF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
27 #define freopen freopen("in.txt","r",stdin);
28 #define cfin ifstream cin("in.txt");
29 #define lowbit(x) (x&(-x))
30 #define sqr(a) a*a
31 #define ll long long
32 #define ull unsigned long long
33 #define vi vector<int>
34 #define pii pair<int, int>
35 #define dd(x) cout << #x << " = " << (x) << ", "
36 #define de(x) cout << #x << " = " << (x) << "
"
37 #define endl "
"
38 using namespace std;
39 //**********************************
40 ll dp[25][25][25];//dp[i][j][k]表示i个棒子从左边能看到j个右边能看到k个的方案数 
41 //**********************************
42 void Init()
43 {
44     dp[1][1][1]=1;
45     FOR(i,2,20)FOR(j,1,i)FOR(k,1,i-j+1)dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][k]+dp[i-1][j][k-1]+dp[i-1][j][k]*(i-2);
46 }
47 //**********************************
48 int main()
49 {
50     Init();
51     int T;cin>>T;
52     while(T--){
53         int a,b,c;cin>>a>>b>>c;
54         cout<<dp[a][b][c]<<endl;
55     }
56     return 0;
57 }

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