母函数（转）

Posted 2020-07-19 gongpixin

        学了好长时间母函数了，一直没时间进行总结（忙于一些琐事），今天正好放一天假，趁空闲，对母函数做个总结，以便以后更加方便学习。

进入主题：

       我对母函数的理解是，母函数，顾名思义，就是母亲，那就说明，在这个函数里面还有儿子，即子函数。说白了，就是子函数可以看作是母函数的一个子集。

而如何把这些子函数用一个母函数来表示呢？即所谓的通项公式，我个人觉的这是问题的症结之处，解决了这一症结，那么，后面的问题就容易多了。

下面我来谈谈怎么来求解母函数：

       看过许多有关母函数的资料，介绍母函数的思想基本一样，我这里就通俗理解为：母函数就是一个多项式前面的系数的一个整体的集合，而子函数就是这个多项式每一项前面的系数。

        那么，在碰到问题时，我们如何区分它是不是要用母函数来求解？如果用到母函数，那么需要什么样的母函数来求解？母函数是用来解决哪种类型的问题？ 

         我想这是包括我在内的很多初次接触母函数的朋友所关心的问题。

下面我来逐一做出解答：

1. 什么样的题型适合用母函数

      母函数有普通型的，也有指数型的。而我们通常在做题当中碰到的大多是普通型的，指数型的较少，主要用来求解多重排列的题型（我至今未涉及到有关指数型的母函数，希望读者提议，若以后碰到，我会加以补充），接下来，我重点说一下普通型母函数。

    普通型的可以用在求解组合以及整数拆分的题型中。

    例如，对于有n种物品，如果第i个物品有ki个，我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn)，每一项表示对于第i件物品，可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法，【注意系数都为1，因为同种物品去i件，它的取法是1】多项相乘：因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】，  是组合计数的乘法原理， x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数.（可以参考hduacm课件）

整数拆分

 

hdu 1028

The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

#include"iostream"
using namespace std;
#define  N 130
int a[N+1],b[N+1];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(cin>>n&&n!=0)
    {
        for(i=0; i<=n; i++)
        {
            a[i]=1;
            b[i]=0;
        }
        for(i=2; i<=n; i++)
        {
            for(j=0; j<=n; j++)
                for(k=0; k+j<=n; k+=i)
                {
                    b[k+j]+=a[j];
                }
            for(j=0; j<=n; j++)
            {
                a[j]=b[j];
                b[j]=0;
            }
        }
        cout<<a[n]<<endl;
    }
    return 0;

}

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hdu 2082

假设有x1个字母A， x2个字母B,..... x26个字母Z，同时假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比如ACM与CMA认为是同一个单词）。

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define N 50
#define M 26
int a[M+1],b[M+1],c1[N+1],c2[N+1];
int main()
{
    int n,i,j,k,sum;

    cin>>n;
    while(n--)

    {
        sum=0;


        for(i=0; i<26; i++)
        {
            cin>>a[i];
            b[i]=i+1;
        }
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        c1[0]=1;

        for(i=0; i<26; i++)
        {
            for(j=0; j<=50; j++)
                if(c1[j])
                    for(k=0; k+j<=50&&k<=a[i]*b[i]; k+=b[i])

                    {
                        c2[k+j]+=c1[j];
                    }
            for(j=0; j<=50; j++)

            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        for(i=1; i<=50; i++)
            sum+=c1[i];
        cout<<sum<<endl;

    }
    return 0;
}

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2，需要什么样的母函数来求解

       可以说不同的问题，有不同的解法，对于一道可以用母函数来求解的题而言，可能还有比母函数更简洁的方法，因人而异。不一定遇到组合类型的题型就要用组合函数，在这里我只是要通过一些例子来说明如果我们需要用母函数来求解，那么，该如何选定合适的母函数呢？

   母函数的框架基本一样，

如hdu1028,

for(i=2; i<=n; i++)
{
    for(j=0; j<=n; j++)
        for(k=0; k+j<=n; k+=i) //关键
        {
            b[k+j]+=a[j];
        }
    for(j=0; j<=n; j++)
    {
        a[j]=b[j];
        b[j]=0;
    }
}

如hdu2082,

for(i=0; i<26; i++)
{
    for(j=0; j<=50; j++)
        if(c1[j])
            for(k=0; k+j<=50&&k<=a[i]*b[i]; k+=b[i]) //关键
                c2[k+j]+=c1[j];
    for(j=0; j<=50; j++)
    {

        c1[j]=c2[j];

        c2[j]=0;

    }
}

 

注：根据题意，仔细分析，建立关系。

    

from：http://www.cnblogs.com/FCWORLD/archive/2010/10/10/1847218.html