2018焦作网络赛 - Poor God Water 一道水题的教训

Posted 2021-01-06 The Azure Arbitrator

本题算是签到题,但由于赛中花费了过多的时间去滴吧格,造成了不必要的浪费以及智商掉线,所以有必要记录一下

题意:方格从1到n,每一格mjl可以选择吃鱼/巧克力/鸡腿,求走到n格时满足
1.每三格不可重复同一种食物
2.每三格均不同食物时中间格子不可吃巧克力
3.每三格前后两格不可同时吃巧克力
以上三个条件的方案数,n<1e10

太长不看版:打表+快速幂AC

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长篇吐槽版

很显然的,设\(dp[n][i][j][k]\),走到第\(n\)格时第\(n-2\)格的食物是\(i\),第\(n-1\)的食物是\(j\),第\(n\)的食物是\(k\)的方案数
然后一波转移套上矩阵快速幂,应该没问题?

那么首先应该搞出所有转移,emmm好像方程很多,手写花了一定时间发现写歪了(傻逼做法1
于是写了个程序暴力转移

    rep(i,1,3)rep(j,1,3)rep(k,1,3){
        printf("dp[i][%d][%d][%d]=",i,j,k);
        bool flag=0;
        if(i==j&&j==k&&i==k) flag=1;
        if(j==2&&i!=2&&k!=2&&i!=k) flag=1;
        if(i==2&&k==2) flag=1;
        if(flag){
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
        flag=0;
        int jj=i,kk=j;
        rep(ii,1,3){
            if(ii==jj&&jj==kk&&ii==kk)continue;
            if(jj==2&&ii!=2&&kk!=2&&ii!=kk)continue;
            if(ii==2&&kk==2)continue;
            printf("dp[i-1][%d][%d][%d]+",ii,jj,kk);
            flag=1;
        }
        cout<<endl;
    }

于是得到

dp[i][1][1][1]=0
dp[i][1][1][2]=dp[i-1][2][1][1]+dp[i-1][3][1][1];
dp[i][1][1][3]=dp[i-1][2][1][1]+dp[i-1][3][1][1];
dp[i][1][2][1]=dp[i-1][1][1][2]+dp[i-1][3][1][2];
dp[i][1][2][2]=dp[i-1][1][1][2]+dp[i-1][3][1][2];
dp[i][1][2][3]=0;
dp[i][1][3][1]=dp[i-1][1][1][3]+dp[i-1][2][1][3]+dp[i-1][3][1][3];
dp[i][1][3][2]=dp[i-1][1][1][3]+dp[i-1][2][1][3]+dp[i-1][3][1][3];
dp[i][1][3][3]=dp[i-1][1][1][3]+dp[i-1][2][1][3]+dp[i-1][3][1][3];
dp[i][2][1][1]=dp[i-1][1][2][1]+dp[i-1][2][2][1];
dp[i][2][1][2]=0;
dp[i][2][1][3]=dp[i-1][1][2][1]+dp[i-1][2][2][1];
dp[i][2][2][1]=dp[i-1][1][2][2]+dp[i-1][3][2][2];
dp[i][2][2][2]=0;
dp[i][2][2][3]=dp[i-1][1][2][2]+dp[i-1][3][2][2];
dp[i][2][3][1]=dp[i-1][2][2][3]+dp[i-1][3][2][3];
dp[i][2][3][2]=0;
dp[i][2][3][3]=dp[i-1][2][2][3]+dp[i-1][3][2][3];
dp[i][3][1][1]=dp[i-1][1][3][1]+dp[i-1][2][3][1]+dp[i-1][3][3][1];
dp[i][3][1][2]=dp[i-1][1][3][1]+dp[i-1][2][3][1]+dp[i-1][3][3][1];
dp[i][3][1][3]=dp[i-1][1][3][1]+dp[i-1][2][3][1]+dp[i-1][3][3][1];
dp[i][3][2][1]=0;
dp[i][3][2][2]=dp[i-1][1][3][2]+dp[i-1][3][3][2];
dp[i][3][2][3]=dp[i-1][1][3][2]+dp[i-1][3][3][2];
dp[i][3][3][1]=dp[i-1][1][3][3]+dp[i-1][2][3][3];
dp[i][3][3][2]=dp[i-1][1][3][3]+dp[i-1][2][3][3];
dp[i][3][3][3]=0;

先试试样例,卧槽怎么全是0的
发现忘了前3项特判初始化(傻逼做法2
赶紧加上去

rep(i,1,3)dp[1][0][0][i]=dp[0][0][0][0];
    rep(i,1,3)rep(j,1,3)dp[2][0][i][j]+=dp[1][0][0][i];
    rep(i,1,3)rep(j,1,3)rep(k,1,3){
        if(i==j&&j==k&&i==k)continue;
        if(j==2&&i!=2&&k!=2&&i!=k)continue;
        if(i==2&&k==2)continue;
        dp[3][i][j][k]+=dp[2][0][i][j];
    }

搞完后怒上27*27的矩阵,然而TLE(傻逼做法3

再套了个费马小定理,TLE(hhh

dalao指点了不如试试BM?没办法只好上了
得到f[n]=2f[n-1]-f[n-2]+3f[n-3]+2f[n-4]

再怒上一波快速幂,发现答案歪了..挂机10min
最后偶然发现必须后几项开始推才是正确的(傻逼做法4

推完后改代码发现又递推不上去了,两个人同时写都歪了
再次发现递推矩阵的上三角写歪了一位...(傻逼做法5

对了,挪板子的时候发现MOD写成了1e9+9,幸好被队友发现了hhh(傻逼做法6

最后奉上代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define rrep(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define println(a) printf("%lld\n",(ll)(a))
#define printbk(a) printf("%lld ",(ll)(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn  = 100;
const int MAXN = maxn;
const ll MOD = 1e9+7;
inline ll mod(ll a){return a%MOD;}
ll read(){
    ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll b[5][5]={
    {0,0,0,0,0},
    {0,2,-1,3,2},
    {0,1,0,0,0},
    {0,0,1,0,0},
    {0,0,0,1,0},
};
ll c[]={0,2956,1286,560,244};
struct Mat{
    ll m[5][5],r,c;
    void node(int rr,int cc,bool unit=0){
        r=rr;c=cc;
        memset(m,0,sizeof m);
        if(unit) rep(i,1,4) m[i][i]=1;
    }
    void print(){
        rep(i,1,4){
            rep(j,1,4){
                cout<<m[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
};
Mat operator * (Mat a,Mat b){
    Mat ans;ans.node(a.r,b.c);
    rep(i,1,4){
        rep(j,1,4){
            int t=4;
            rep(k,1,t){
                ans.m[i][j]+=mod(a.m[i][k]*b.m[k][j]);
                ans.m[i][j]=mod(ans.m[i][j]);
            }
        }
    }
    return ans;
}
Mat qmod(Mat a,ll n){
    Mat ans;ans.node(4,4,1);
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*a;
        n>>=1;
        a=a*a;
    }
    return ans;
}
ll ans[]={0,3,9,20,46,106,244,560,1286,2956};
int main(){
    int T=read();
    while(T--){
        Mat base,base2;
        base.node(4,4); base2.node(4,4);
        rep(i,1,4) rep(j,1,4) base.m[i][j]=b[i][j];
        rep(i,1,4) base2.m[i][1]=c[i];
        ll n=read();
        if(n<=9){
            println(ans[n]);
            continue;
        }
        base=qmod(base,n-9);
        Mat res=base*base2;
        println((res.m[1][1]+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}

感觉这回比赛得背锅啊orz