高斯消元法求解异或方程组： cojs.tk 539.//BZOJ 1770 牛棚的灯

Posted 2020-07-18 tech-chen

高斯消元求解异或方程组：

    比较不错的一篇文章：http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100g7hl.html

cojs.tk  539. 牛棚的灯

★★☆   输入文件：lights.in   输出文件：lights.out   简单对比
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【问题描述】

贝希和她的闺密们在她们的牛棚中玩游戏。但是天不从人愿，突然，牛棚的电源跳闸了，所有的灯都被关闭了。贝希是一个很胆小的女生，在伸手不见拇指的无尽的黑暗中，她感到惊恐，痛苦与绝望。她希望您能够帮帮她，把所有的灯都给重新开起来！她才能继续快乐地跟她的闺密们继续玩游戏！

牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盏灯，编号为1到N。这些灯被置于一个非常复杂的网络之中。有M（1 <= M <= 595）条很神奇的无向边，每条边连接两盏灯。

每盏灯上面都带有一个开关。当按下某一盏灯的开关的时候，这盏灯本身，还有所有有边连向这盏灯的灯的状态都会被改变。状态改变指的是：当一盏灯是开着的时候，这盏灯被关掉；当一盏灯是关着的时候，这盏灯被打开。

问最少要按下多少个开关，才能把所有的灯都给重新打开。

数据保证至少有一种按开关的方案，使得所有的灯都被重新打开。

题目名称：lights

输入格式：

＊第一行：两个空格隔开的整数：N和M。

＊第二到第M+1行：每一行有两个由空格隔开的整数，表示两盏灯被一条无向边连接在一起。
没有一条边会出现两次。

样例输入（文件 lights.in）：

5 6
1 2
1 3
4 2
3 4
2 5
5 3

输入细节：

一共有五盏灯。灯1、灯4和灯5都连接着灯2和灯3。

输出格式：

第一行：一个单独的整数，表示要把所有的灯都打开时，最少需要按下的开关的数目。

样例输出（文件 lights.out）：

3

输出细节：

按下在灯1、灯4和灯5上面的开关。

hwzer的代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 #define inf 1000000000
 8 #define ll long long
 9 using namespace std;
10 inline int read()
11 {
12     int x=0,f=1;char ch=getchar();
13     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
14     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
15     return x*f;
16 }
17 int n,m,tot;
18 int mn=inf;
19 int f[45][45],ans[45];
20 void gauss()
21 {/*一共有n个方程，n个变量*/
22     for(int i=1;i<=n;i++)
23     {
24         int j=i;/*第i行第i列是要向下消元的，如果该行是0，就找一个不是0的一行和他互换后，向下消元，如果j>n，说明所有行的第i列都是0，那就不用消元了*/
25         while(j<=n&&!f[j][i])j++;
26         if(j>n)continue;
27         if(i!=j)for(int k=1;k<=n+1;k++)swap(f[i][k],f[j][k]);/*互换*/
28         for(int j=i+1;j<=n;j++)/*用第i行向下消元*/
29             if(i!=j&&f[j][i])/*消元时，只消这一项不是0的方程即可*/
30                 for(int k=1;k<=n+1;k++)/*消这个方程的时候要把所有的量的都对应相消*/
31                     f[j][k]^=f[i][k];
32     }
33 }
34 /*，因为，上面只是求出一组解，并不是最小解。
35 所以，我们需要求出所有解，然后输出最小的那个。
36 在求倒三角后，有一些m[i][i]==0，这时，我们对x[i]的取值就有两种，0或1。
37 本身，x[i]的取值对第i行的方程没有任何影响，但它的取值对其他方程有影响，
38 所以，这里需要枚举x[i]的取值。*/
39 void dfs(int now)
40 {/*tot表示按下灯的数目*/
41     if(tot>=mn)return;/*剪枝，取小操作，一旦大了就不用求了*/
42     if(!now)/*搜索的终点*/
43     {
44         mn=min(mn,tot);
45         return;
46     }
47     if(f[now][now])/*如果now不是自由变元*/
48     {/*这就是求出当前解ans[now]的过程，利用了性质t=a^b，那么t^b等于a，最后的 f[now][n+1]，是由前面的ans[i]（f[now][i]不等于0）异或得出的，可以异或回去，求出ans[now] */
49         int t=f[now][n+1];
50         for(int i=now+1;i<=n;i++)
51             if(f[now][i])t^=ans[i];
52         ans[now]=t;
53         if(t)tot++;/*如果当前的灯要按下，统计总数*/
54         dfs(now-1);/*搜索上一盏灯*/
55         if(t)tot--;/*回溯的过程，为什么可以回溯呢，因为异或方程组会有多组解，即使当前的now灯不按下，求后面的now-1仍然可以有解，说不定还可以更优，所以要回溯*/
56     }
57     else /*如果now是自由变元，自由变元取到任何值，最终方程都会有解，就枚举x[now]是0还是1，进行搜索*/
58     {
59         ans[now]=0;dfs(now-1);
60         ans[now]=1;tot++;dfs(now-1);tot--;/*别忘记搜索中的回溯*/
61     }
62 }
63 int main()
64 {/*f[i][j]表示i--j有边相连，所以是1，其余的是0，在方程组中，*0后结果就没有影响了*/
65     freopen("lights.in","r",stdin);
66     freopen("lights.out","w",stdout);
67     n=read();m=read();
68     for(int i=1;i<=n;i++)
69         f[i][i]=1,f[i][n+1]=1;
70     for(int i=1;i<=m;i++)
71     {
72         int x=read(),y=read();
73         f[x][y]=f[y][x]=1;
74     }
75     gauss();dfs(n);/*从n开始搜索，是因为n的变元数目少*/
76     printf("%d\n",mn);
77     fclose(stdin);fclose(stdout);
78     return 0;
79 }

我的代码：

 

 1 #define N 40
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 int ans[N],f[N][N],x,y,n,m;
 7 int minn=(1<<31)-1,tot=0;
 8 int read()
 9 {
10     int sum=0,ff=1;char s;
11     s=getchar();
12     while(s<‘0‘||s>‘9‘)
13     {
14         if(s==‘-‘) ff=-1;
15         s=getchar();
16     }
17     while(‘0‘<=s&&s<=‘9‘)
18     {
19         sum=sum*10+s-‘0‘;
20         s=getchar();
21     }
22     return sum*ff;
23 }
24 void gauss()
25 {
26     for(int i=1;i<=n;++i)
27     {
28         int j=i;
29         while(j<=n&&!f[j][i]) j++;
30         if(j>n) continue;
31         if(i!=j)
32         {
33             for(int k=1;k<=n+1;++k)
34             {
35                 swap(f[i][k],f[j][k]);
36             }
37         }
38         for(int j=i+1;j<=n;++j)
39           if(f[j][i])
40           {
41               for(int k=1;k<=n+1;++k)
42                 f[j][k]^=f[i][k];
43           }
44     }
45 }
46 void dfs(int now)
47 {
48     if(tot>=minn) return ;
49     if(!now)
50     {
51         minn=min(minn,tot);
52         return ;
53     }
54     if(f[now][now])
55     {
56         int t=f[now][n+1];
57         for(int i=now+1;i<=n;++i)
58         if(f[now][i]) t^=ans[i];
59         ans[now]=t;
60         if(t) tot++;
61         dfs(now-1);
62         if(t) tot--;
63     }
64     else 
65     {
66         ans[now]=1;tot++;dfs(now-1);
67         ans[now]=0;tot--;dfs(now-1);
68     }
69 }
70 int main()
71 {
72 //    freopen("lights.in","r",stdin);
73 //    freopen("lights.out","w",stdout);
74     n=read();m=read();
75     for(int i=1;i<=n;++i)
76         f[i][i]=f[i][n+1]=1;
77     for(int i=1;i<=m;++i)
78     {
79         x=read();
80         y=read();
81         f[x][y]=f[y][x]=1;
82     }
83     gauss();
84     dfs(n);
85     printf("%d\n",minn);
86 //    fclose(stdin);
87 //    fclose(stdout);
88     return 0;
89  }