dp动态规划

Posted 2020-07-18 SDAU_ZG

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。

基本思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。

状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因素。

决策：一个阶段的状态给定以后，从该状态演变到下一阶段某个状态的一种选择（行动）称为决策。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化。

 

完全背包

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件，也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……取[V/c]件等很多种。

 

最长上升子序列

      设数串的长度为n，L[i]为以第i个数为末尾的最长上升子序列的长度，a[i]为数串的第i个数。

        L[i]的计算方法为：从前i-1个数中找出满足a[j]<a[i]（1<=j<i）条件的最大的L[j]，L[i]等于L[j]+1。

动归表达式：

类斐波那契数列问题

指特征方程类似于 f(n) = f(n-1) + f(n-2),的问题，此类问题最直观的题就是斐波那契数列，稍微难一点的就是跳楼问题，和堆砖头问题，这两个题虽然看起来与斐波那契没什么关系，但是经过分析和转化之后，就可以转化为该类型。总的来说，类斐波那契数列问题是这套专题里最简单的问题，只要做会了几个典型，其他的就很简单了。

 最短路径问题