luogu1070 道路游戏 单调队列

Posted 2020-12-31 headboy2002

题目大意

小新正在玩一个简单的电脑游戏。

游戏中有一条环形马路，马路上有 nn 个机器人工厂，两个相邻机器人工厂之间由一小段马路连接。小新以某个机器人工厂为起点，按顺时针顺序依次将这 nn 个机器人工厂编号为 1-n1?n ，因为马路是环形的，所以第 nn 个机器人工厂和第 11 个机器人工厂是由一段马路连接在一起的。小新将连接机器人工厂的这 n 段马路也编号为 1-n1?n ，并规定第 ii 段马路连接第 i 个机器人工厂和第 i+1i+1 个机器人工厂（ 1≤i≤n-11≤i≤n?1 ），第 nn 段马路连接第 nn 个机器人工厂和第 11 个机器人工厂。

游戏过程中，每个单位时间内，每段马路上都会出现一些金币，金币的数量会随着时间发生变化，即不同单位时间内同一段马路上出现的金币数量可能是不同的。小新需要机器人的帮助才能收集到马路上的金币。所需的机器人必须在机器人工厂用一些金币来购买，机器人一旦被购买，便会沿着环形马路按顺时针方向一直行走，在每个单位时间内行走一次，即从当前所在的机器人工厂到达相邻的下一个机器人工厂，并将经过的马路上的所有金币收集给小新，例如，小新在 ii （ 1≤i≤n1≤i≤n ）号机器人工厂购买了一个机器人，这个机器人会从 ii 号机器人工厂开始，顺时针在马路上行走，第一次行走会经过 ii 号马路，到达 i+1i+1 号机器人工厂（如果 i=ni=n ，机器人会到达第 11 个机器人工厂），并将 ii 号马路上的所有金币收集给小新。 游戏中，环形马路上不能同时存在 22 个或者 22 个以上的机器人，并且每个机器人最多能够在环形马路上行走 pp 次。小新购买机器人的同时，需要给这个机器人设定行走次数，行走次数可以为 1~p1 p 之间的任意整数。当马路上的机器人行走完规定的次数之后会自动消失，小新必须立刻在任意一个机器人工厂中购买一个新的机器人，并给新的机器人设定新的行走次数。

以下是游戏的一些补充说明：

1. 游戏从小新第一次购买机器人开始计时。

2. 购买机器人和设定机器人的行走次数是瞬间完成的，不需要花费时间。

3. 购买机器人和机器人行走是两个独立的过程，机器人行走时不能购买机器人，购买完机器人并且设定机器人行走次数之后机器人才能行走。

4. 在同一个机器人工厂购买机器人的花费是相同的，但是在不同机器人工厂购买机器人的花费不一定相同。

5. 购买机器人花费的金币，在游戏结束时再从小新收集的金币中扣除，所以在游戏过程中小新不用担心因金币不足，无法购买机器人而导致游戏无法进行。也因为如此，游戏结束后，收集的金币数量可能为负。

现在已知每段马路上每个单位时间内出现的金币数量和在每个机器人工厂购买机器人需要的花费，请你告诉小新，经过 mm 个单位时间后，扣除购买机器人的花费，小新最多能收集到多少金币。

题解

审题

　　当时我审题时的思维方式就比较死板，认为时间从时刻1转移到时刻2必然是一瞬间的事，这使我认为第2条的意思就是买一个机器人时也会在一瞬间内增加一个单位时间。不！这里的时间是一个过程，买机器人是不需要花时间的。也就是说，一个机器人结束行走的同时， 另一个机器人便立即开始行走，不会等一个单位时间的。

状态的设计

第一个想法

　　设立一个f(i, j, k)，表示在时刻i、第j个节点、当前机器人走了k步时最多得到的金钱数。

第二个想法

　　第一个想法k总有些啰嗦，因为k>0时它只能从f(i, j, k-1)处转移而来，这完全没有必要。于是我设计了两个状态f(i, j)和g(i, j)。g(i, j)中i是时刻i，机器人结束于节点j时的最多的金钱数，f(i, j)则是机器人开始于j节点时最多的金钱数。f与g间可以相互转化。

正确想法

　　对g的设立完全是多余的，应该用在求f时的枚举来可以代替g的作用。递归式为

$$f(i, j) = \max_{1\leq j\leq n, 1\leq k\leq p}\{f(i-k)-cost(j-k)+\sum_{x=1}^k val(j-k)\}$$

优化

　　我们为何不把sigma的部分用二维前缀和（对角线）优化掉呢？因为当时我想反正k也要枚举，就是加了前缀和优化也没有用。NoNoNo，我们想直接递推的复杂度是$O(nmp)$，不满足要求，我们要优化的不就是要把p给干掉吗？所以我们加上前缀和看看有什么发现。我们把所有的边改为接在每个节点的后面。递归式变成了

$$f(i, j) = \max_{1\leq j\leq n, 1\leq k\leq p}\{f(i-k)-cost(j-k)+sum(j,i)-sum(j-k,i-k)\}$$

　　我们发现有好多个-k！有点像单调队列哦！我们对每一个0时刻出发点start维护一个单调队列，它维护一个长度为p的窗口，里面维护f(t) - sum(start + t, t) - cost(start + t)的值，则每次t增加，每个单调队列都移动一次，则f(t) = max{单调队列start里的最大值 + sum(start + t)}，随后这道题就解决了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX_NODE = 1010, MAX_TIME = 1010, MINF = 0xcfcfcfcf;
int OrgVal[MAX_NODE][MAX_TIME], NodeCost[MAX_NODE], Prefix[MAX_NODE][MAX_TIME];
int F[MAX_TIME];
int TotNode, TotTime, P;

struct SlideWindow
{
private:
	struct Queue
	{
	private:
		int A[MAX_TIME];
		int Head, Tail;

	public:
		Queue():Head(0), Tail(0){}
		void push_back(int x) { A[Tail++] = x; }
		void pop_back() { Tail--; }
		void pop_front() { Head++; }
		bool empty() { return Head == Tail; }
		int front() { return A[Head]; }
		int back() { return A[Tail - 1]; }
		void clear() { Head = Tail = 0; }
	}IdQ;

	int KeyToVal;
	int(*GetVal)(int, int);
	int Tail, Len;

public:
	void Init(int len, int keyToVal, int(*getVal)(int, int)) 
	{ 
		GetVal = getVal;
		Len = len;
		Tail = -1; 
		KeyToVal = keyToVal;
	}

	void Move()
	{
		Tail++;
		int head = Tail - Len + 1;
		while (!IdQ.empty() && IdQ.front() < head)
			IdQ.pop_front();
		while (!IdQ.empty() && GetVal(KeyToVal, IdQ.back()) < GetVal(KeyToVal, Tail))
			IdQ.pop_back();
		IdQ.push_back(Tail);
	}

	int GetMax()
	{
		return GetVal(KeyToVal, IdQ.front());
	}
}_ws[MAX_NODE];

void GetPrefix()
{
	for (int start = 1; start <= TotNode; start++)
	{
		for (int t = 1; t <= TotTime; t++)
		{
			int curNode = (start + t - 1) % TotNode + 1;
			int prevNode = (start + t - 2) % TotNode + 1;
			Prefix[curNode][t] = Prefix[prevNode][t - 1] + OrgVal[curNode][t];
		}
	}
}

int GetVal(int start, int t)
{
	int curNode = (start + t - 1) % TotNode + 1;
	return F[t] - Prefix[curNode][t] - NodeCost[curNode];
}

int DP()
{
	memset(F, MINF, sizeof(F));
	F[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= TotNode; i++)
		_ws[i].Init(P, i, GetVal);
	for (int t = 1; t <= TotTime; t++)
	{
		for (int i = 1; i <= TotNode; i++)
			_ws[i].Move();
		for (int i = 1; i <= TotNode; i++)
			F[t] = max(F[t], _ws[i].GetMax() + Prefix[(i + t - 1) % TotNode + 1][t]);
	}
	return F[TotTime];
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &TotNode, &TotTime, &P);
	for (int i = 2; i <= TotNode; i++)
		for (int j = 1; j <= TotTime; j++)
			scanf("%d", &OrgVal[i][j]);
	for (int i = 1; i <= TotTime; i++)
		scanf("%d", &OrgVal[1][i]);
	for (int i = 1; i <= TotNode; i++)
		scanf("%d", NodeCost + i);
	GetPrefix();
	printf("%d\n", DP());
	return 0;
}