LeetCode Largest Number

Posted 2020-07-16 gavinfish

LeetCode解题之Largest Number

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原题

给定一组非负整数，将这些整数拼接成最大的数字。由于返回的数字可能非常大，直接返回字符串。

注意点：

• 无

例子:

输入: nums = [3, 30, 34, 5, 9]

输出: ‘9534330’

解题思路

要将这些数字拼接起来，其实就是要规定好这些数字出现的先后顺序，所以我们要对这些数字进行排序。直接比较数字的大小是行不通的，如12和121，虽然121>12，但是12121>12112。应有的排序规则应该是如果AB>BA，那么我们规定A>B，也就是最后拼接时A放在B之前。这个方案看着有点道理，而且也是正确的，但要证明按照这种排序得到的数字是最大的比较困难。

以下证明参考自@19thhell。主要要说名两点，一是这种比较关系具有传递性，第二是按照这样的拼接顺序得到的数是最大的。

首先，通过证明传递性可以帮我得到所有数的大小关系：

    为了方便表示，定义f(X) = 10^(lgX + 1), (lgX + 1)表示X有多少位，所以AB = f(B)A + B
    假设 A <· B, B <· C （<·是为了与一般的小于号区分）
    即 AB < BA, BC < CB
    因为 AB < BA
    f(B)A + B < f(A)B + A
    (f(B) - 1)A < (f(A) - 1)B
    A < B·(f(A) - 1) / (f(B) - 1)   (1)

    因为 BC < CB
    f(C)B + C < f(B)C + B
    (f(C) - 1)B < (f(B) - 1)C
    B < C·(f(B) - 1) / (f(C) - 1)   (2)

    结合 (1), (2)，
    A < C·(f(A) - 1) / (f(C) - 1)
    (f(C) - 1)A < (f(A) - 1)C
    f(C)A + C < f(A)C + A
    AC < CA
    即得到了A <· C

    根据传递性可以得到按照上面的比较规则排序后的数字满足A1 ·> A2·> ... ·> A(n-1)

下面证明A1A2…A(n-1)是这些数能够拼接成的最大的数字。

如果A < B，那么我们容易得到CAD < CBD（这里是一般的大小关系） （3)

因为 A1 ·> A2·> ... ·> A(n-1)
所以 A1Aj > AjA1， 再根据（3）有以下的大小关系
(A1B)C...N > (BA1)C...N
B(A1C)...N > B(CA1)...N -> A1BC...N > BCA1...N
...
... -> A1BC...N > BCA...NA1
也就是说A1放在第一个位置相对于把它放在其他的位置时，拼接出来的数字大。同理我们也可以推断出A2应该放在第二位......

综上所述，我们通过将数字按照上述方法排序后再拼接就可以得到最大的数字。还有需要注意的是可能参数是多个0，此时字符串拼接的结果是一串0，不符合常规的表达方法，要将其改为0。

AC源码

from functools import cmp_to_key


class Solution:
    # @param {integer[]} nums
    # @return {string}
    def largestNumber(self, nums):
        sorted_nums = sorted(map(str, nums), key=cmp_to_key(lambda x, y: int(y + x) - int(x + y)))
        result = ‘‘.join(sorted_nums).lstrip(‘0‘)
        return result or ‘0‘


if __name__ == "__main__":
    assert Solution().largestNumber([3, 30, 34, 5, 9]) == ‘9534330‘
    assert Solution().largestNumber([0, 0]) == ‘0‘

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