什么是凸函数及如何判断一个函数是否是凸函数

Posted 2020-12-28 1直在路上1

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一、什么是凸函数

　对于一元函数\\(f(x\\))，如果对于任意\\(t\\epsilon[0,1]\\)均满足：\\(f(tx_1 + (1-t)x_2) \\leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\\)，则称\\(f(x)\\)为凸函数(convex function)

　如果对于任意\\(t\\epsilon(0,1)\\)均满足：\\(f(tx_1 + (1-t)x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\\)，则称\\(f(x)\\)为严格凸函数(convex function)

　我们可以从几何上直观地理解凸函数的特点，凸函数的割线在函数曲线的上方，如图1所示：从$f(x_1)$连一条线到右侧的虚线，利用三角形边的比例性质可以推出中间虚线与上面直线交点的值

　上面的公式，完全可以推广到多元函数。在数据科学的模型求解中，如果优化的目标函数是凸函数，则局部极小值就是全局最小值。这也意味着我们求得的模型是全局最优的，不会陷入到局部最优值。例如支持向量机的目标函数\\(||w||^2/2\\)就是一个凸函数。

 

二、如何来判断一个函数是否是凸函数呢？

　对于一元函数\\(f(x)\\)，我们可以通过其二阶导数\\(f\'\'(x)\\) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即\\(f\'\'(x) \\geq 0\\) ，则\\(f(x)\\)是凸函数

　对于多元函数\\(f(X)\\)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是\\(f(X)\\)凸函数

 

三、Jensen不等式

　对于凸函数，我们可以推广出一个重要的不等式，即Jensen不等式。如果 f 是凸函数，X是随机变量，那么\\(f(E(X)) \\leq  E(f(X))\\)，上式就是Jensen不等式的一般形式

　我们还可以看它的另一种描述。假设有 n 个样本\\(\\{x_1,x_2,...,x_n\\}\\)和对应的权重\\(\\{\\alpha_1,\\alpha_2,...,\\alpha_n\\}\\)，权重满足\\(a_i \\geqslant 0,\\sum\\alpha_i = 1\\)，对于凸函数 f，以下不等式成立：

\\(f(\\sum_{i=1}^{n}\\alpha_ix_i) \\leq \\sum_{i=1}^{n}\\alpha_if(x_i)\\)