主元素问题 减治法

Posted helena_wang

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了主元素问题 减治法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一个有n个元素的序列A中,出现次数大于n/2的元素称为主元素。现给定一个序列(保证存在主元素),求其主元素

一种思路是Boyer和Moore提出的减治法,可以在线性时间内求得主元素。如果不确定序列是否存在主元素,还需要再加一个线性的判断。

以下假设A的主元素存在,且出现了k次,则其他元素出现的次数为n - k,二者的差记为c = 2k-n。可知x为主元素当且仅当 c > 0。

考查序列A的长度为2m的前缀P,若其中某个元素 x 出现的次数达到m,则此时可减而治之,分析如下,参考了数据结构课本的“众数选取”部分:

  1. 若 x 确实为A的主元素,则A剪去前缀P后得到的后缀S,x的个数与非主元素的个数都减少了m,但二者的差仍为c,所以后缀S的主元素必然也是x。

  2. 若A的主元素不是 x,而是另一个元素y,那么剪去P后,至少除去了m个非主元素,所以后缀S中的c不会减小,S的主元素仍为y。

实现上,我们维护一个“差额计数器c” 和一个当前候选值maj ,初始化maj=A[0], c = 1。

从左到右扫描序列A,若A[i]==maj则c++,否则c--。当c减到0时,说明maj在当前的长度为2m的区间内恰好出现了m次,根据上面的分析,此时可以放心地剪去当前区间,只考虑后缀;所以我们置新的maj = A[i], c = 1,继续扫描至结尾,最终maj的值就是最后一个后缀的主元素。

若不确定原序列A是否存在主元素,可以扫描一遍统计下maj的个数。

题目嘛,找到了这么一道:https://leetcode.com/problems/majority-element/

参考了 http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/50478012

 1 int majorityElement(vector<int>& nums) {
 2     int major;
 3     for(int c=0, i=0; i < nums.size(); i++){
 4         if(c == 0){
 5             major = nums[i];
 6             c = 1;
 7         }else
 8             major == nums[i] ? c++ : c--;
 9     }
10     return major;
11 }

 

以上是关于主元素问题 减治法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

两个序列的中位数-减治法

减治法与插入排序

减治法

从减治法到插入排序再到希尔排序

算法设计与分析减治法

算法笔记_023:拓扑排序(Java)