主元素问题 减治法

Posted 2020-07-16 helena_wang

一个有n个元素的序列A中，出现次数大于n/2的元素称为主元素。现给定一个序列（保证存在主元素），求其主元素。

一种思路是Boyer和Moore提出的减治法，可以在线性时间内求得主元素。如果不确定序列是否存在主元素，还需要再加一个线性的判断。

以下假设A的主元素存在，且出现了k次，则其他元素出现的次数为n - k，二者的差记为c = 2k-n。可知x为主元素当且仅当 c > 0。

考查序列A的长度为2m的前缀P，若其中某个元素 x 出现的次数达到m，则此时可减而治之，分析如下，参考了数据结构课本的“众数选取”部分：

　　1. 若 x 确实为A的主元素，则A剪去前缀P后得到的后缀S，x的个数与非主元素的个数都减少了m，但二者的差仍为c，所以后缀S的主元素必然也是x。

　　2. 若A的主元素不是 x，而是另一个元素y，那么剪去P后，至少除去了m个非主元素，所以后缀S中的c不会减小，S的主元素仍为y。

实现上，我们维护一个“差额计数器c” 和一个当前候选值maj ，初始化maj=A[0], c = 1。

从左到右扫描序列A，若A[i]==maj则c++，否则c--。当c减到0时，说明maj在当前的长度为2m的区间内恰好出现了m次，根据上面的分析，此时可以放心地剪去当前区间，只考虑后缀；所以我们置新的maj = A[i], c = 1，继续扫描至结尾，最终maj的值就是最后一个后缀的主元素。

若不确定原序列A是否存在主元素，可以扫描一遍统计下maj的个数。

题目嘛，找到了这么一道：https://leetcode.com/problems/majority-element/

参考了 http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/50478012

 1 int majorityElement(vector<int>& nums) {
 2     int major;
 3     for(int c=0, i=0; i < nums.size(); i++){
 4         if(c == 0){
 5             major = nums[i];
 6             c = 1;
 7         }else
 8             major == nums[i] ? c++ : c--;
 9     }
10     return major;
11 }