Invoker-n颜色涂m个珠子的项链

Posted 2020-12-27 kangkang-tao

参考https://blog.csdn.net/anxdada/article/details/76862564、 https://blog.csdn.net/baidu_35643793/article/details/75268911

一些涂色方案项链在一些变化下G={一些旋转..，一些翻折..}等价，要找出不等价的涂色方案数，或者说等价类数。

置换所构成的元素之间的关系来表示这几种方案间等价关系。

Burnside。各种置换下不变元素（元素，方案（，，））个数之和 == 置换数乘等价类个数（不同类，类数）

各置换中不变元素（不动点）个数之和 = ∑n^循环节（置换的轮换表示看到，置换的成分 （旋转置换的循环节））的个数之和。不变元素，置换后方案没有变。也可以认为是分别保持各种元素不变的置换数之和Zk之和。2×2正方形黑白染色例子，可以认为16+2+4+2，2^4+2^1+2^2+2^1；也是4+4+1+..。等价类个数。等价的元素看放一起看作一点后的点数。

旋转置换，循环节数gcd(m, i)，i为旋转角度。m/t，t为等价类中元素个数

翻折置换，奇数，循环为1，2，循环节数m/2+1；偶数循环为2，对称轴两类个m/2个，循环节数分别为过顶点m/2+1不过顶点m/2加起来。

还有除以置换种类数，因为取模，转化为求同余的结果，借用逆元，费马小定理（就用1e9+7, inv(a)=pow(a, p-2)%p）或者扩展欧几里得算法。