UVa 1639 Candy （数学期望+组合数学+高精度存储）

Posted 2020-07-15 dwtfukgv

题意：有两个盒子各有n个糖，每次随机选一个（概率分别为p,1-p），然后吃掉，直到有一次，你打开盒子发现，没糖了！

输入n,p，求另一个盒子里糖的个数的数学期望。

析：先不说这个题多坑，首先要用long double来实现高精度，我先用的double一直WA，后来看了题解是用long double，

改了，可一直改不对，怎么输出结果都是-2.00000，搞了一晚上，真是无语，因为我输入输出数据类型是long double，

结果一直不对 ，可能是我的编译器是C89的吧，和C语言，输入输出格式不同，但是我改成C99也不对。。。

最后一看题解明白了，输入输出不需要那么高的精度，用double就足够了，可算是废了一晚上的时间。。。悲惨

下面分析这个题：

首先我们不知道最后打开的是哪个盒子，所以我们需要都考虑，当最后打开是第一个时，此时另一个有i个，那么在些之前一定是打开过

n+(n-i)次盒子，其中n次是第一个盒子，n-i次是第二个盒子，这是明显是一个二项分布，所以概率为C(2n-i, n)pⁿ⁺¹(1-p)^n-i,这个地方

一定要注意是n+1，不是n，因为我们也要把最后一次的算上。

这个式子很明显是正确的，但是有一个大问题，那就是C(2n-i, n)这数据实在是太大了（因为n太大了），肯定无法用整形保存，

甚至无法用浮点保存，所以我们对它进行高精度处理，大数选的是对数法，令v1(i) = ln(C(2n-i, n)) + (n+1)ln(p) + (n-i)ln(1-p).

这个地方一定是加减，不是乘除，这是对数，刚开始又忘了，结果一直不对。。。

那么最后打开的是第一个盒子数学期望是e^v1(i)。

同理最后一个打开的是第二个盒子时，对数为v2(i) = ln(C(2n-i, n)) + (n+1)ln(1-p) + (n-i)ln(p)，概率为e^v2(i)。

那么总的数学期望是sum{i*(e^v1(i)+e^v2(i))}((e^v1(i)+e^v2(i))这个是概率)。

这个题需要高精度，所以用long double来存储，真是坑。。。。很难想到。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long double LD;
const int maxn = 400000 + 10;
LD log_ld[maxn];

void init(){
    log_ld[1] = 0.0;
    for(int i = 2; i < maxn; ++i)
        log_ld[i] = log_ld[i-1] + (LD)log((LD)i);
}

double solve(int n, LD p){
    LD ans = 0.0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        ans += (LD)i * exp(log_ld[2*n-i] - log_ld[n] - log_ld[n-i] + (LD)(n+1)*log(p) + (LD)(n-i)*log(1.0-p));

    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        ans += i * exp(log_ld[2*n-i] - log_ld[n] - log_ld[n-i] + (LD)(n+1)*log(1.0-p) + (LD)(n-i)*log(p));
    return ans;
}

int main(){
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n, kase = 0;
    double p;
    init();

    while(~scanf("%d %lf", &n, &p)){
        double ans = solve(n, p);
        printf("Case %d: %.6f\n", ++kase, ans);
    }
    return 0;
}