无穷小比阶(1.47-1.63)

Posted 2020-11-30 ds37

2020张宇1000题·数一·刷题记录

第一篇 高等数学

第1章 极限、连续

二、无穷小比阶(1.47-1.63)

1. 通过几种等价替换确定阶数，(5>n+1>3)，卡正整数的值。
2. 分母无理化之后有惊喜，(tanx-sinx sim {frac{1}{2} }x^3)。
3. 多个无穷小量共同作用，看阶数最小的那个。
4. 正常等价替换或泰勒，展开原则，式子的和不能为0，阶数取x次数最低的那个。
5. ？？？为什么xlnx不是一阶无穷小？
   (xlnx=x[(1+x)-dfrac{1}{2}(1+x)^2+o(x^2)]sim x^?)
6. 原式时x的阶无穷小，故原式/x^k的极限存在。（而且一般不为0吧）
7. (alpha'=cos x^2sim o(x^0);quad eta'=2x tansqrt{x^2}sim 2o(x^2);quad gamma'=dfrac{1}{2sqrt x} sin {sqrt x}^3sim dfrac{1}{2}o(x^1);)
8. 错误做法：(lim limits_{x o 0}sinx(cosx-4)+3xsim (x-dfrac{1}{6}x^3)(1-4)+3x=dfrac{1}{2}x^3)，所以3阶无穷小。
   直接泰勒展开后（各展开两项）相乘相加，或者相乘后再泰勒展开（各展开三项）相加，最后x的所有低阶都被消去了，只留下一个x的高阶（若剩有多项的话，看x次数最低的那项）。
9. (1)提取(sqrt2)出来，往((1+x)^alpha -1simalpha x)上靠。(2)(3)两个等价替换。
10. 往(x-sinx)上靠，两次(sinxcosx=frac{1}{2}sin2x)。
11. 跟1.44看起来有点像，但不是同一种类型。直接泰勒展开，消去1，取x阶数最小的即可，原式~7x^2。答案第二种方法比较麻烦，还有？？？为啥(sinxcosxcos2xcos3x=dfrac{1}{4}sin4xcos3x=dfrac{1}{8}(sin7x-sinx))。
    原来是用了三角函数的积化和差公式，另外也复习下和差化积公式：
12. 提取与等价替换。
13. 同上，提取与等价替换，往(e^x-1sim x)上靠。
14. 求导与等价替换。
15. (lna-lnb=lndfrac{a}{b})，再拆分与等价替换(lim limits_{f(x) o 1} ln[f(x)]=lim limits_{f(x)-1 o 0} ln[1+f(x)-1]sim f(x)-1)
16. 拆分与等价替换。
17. 有那种做高考数学题的感觉，计算麻烦，但算出来很爽。先画图理清题意，再根据已知条件构建公式，然后将未知数用式子表达出来。最后再根据同阶，代入极限+保留阶数。