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Posted 2020-11-30 chtholly

题意

将序列(a_i)分成任意(k)部分，要求一部分的(a)值和不超过(m)；最小化（每段权值的最大值之和）(,(nleq 100000))

解法1

显然动态规划，设(f_i)表示处理前(i)个数的最小值，(s)为前缀和，状态转移：(f_i=f_j+max(a_{j+1},a_{j+2}...a_i),(s_i-s_jleq m))

考虑优化，首先，可转移的范围有单调性，可以用个指针(O(n))做，不再赘述

维护线段树上的叶子：(ans=min(f+max(a)))，(mx=max(a))，即(f_i=min(ans))

每加入一个(a_i)，考虑(i)前面连续比(a_i)小的一段([l,i-1])，这一段的(mx)更新为(a_i),(ans=a[l]+mx)

求([l,i-1])可以用二分+查询，时间复杂度(O(nlog^2n))

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解法2

上面的二分是没有必要的，求前面第一个比(a_i)大的数显然是单调栈预处理，优化至(O(nlogn))

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 400005
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,a[N],s[N];
int f[N],pre[N];
int mx[N<<2],ans[N<<2],sig[N<<2];
int st[N],top;//一个单调栈预处理pre 

template <class T>
void read(T &x)
{
    char c; int sign=1;
    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}

void add_sign(int rt,int l,int r,int val)
{
    sig[rt]=val;
    mx[rt]=val;
    ans[rt]=f[l]+val;
}
void pushdown(int rt,int l,int r)
{
    if(!sig[rt]) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    add_sign(rt<<1,l,mid,sig[rt]);
    add_sign(rt<<1|1,mid+1,r,sig[rt]);
    sig[rt]=0;
}
inline void pushup(int rt)
{
    ans[rt]=Min(ans[rt<<1],ans[rt<<1|1]);
    mx[rt]=Max(mx[rt<<1],mx[rt<<1|1]);
}
void mmx(int rt,int l,int r,int x,int y,int val)//更新最大值 
{
    if(x>y) return;
    pushdown(rt,l,r);
    if(x<=l&&r<=y) return add_sign(rt,l,r,val);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) mmx(rt<<1,l,mid,x,y,val);
    if(y>mid) mmx(rt<<1|1,mid+1,r,x,y,val);
    pushup(rt);
}
void modify(int rt,int l,int r,int x)
{
    if(l==r) { mx[rt]=a[l+1]; ans[rt]=f[l]+a[l+1]; return; }
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(rt,l,r);
    if(x<=mid) modify(rt<<1,l,mid,x);
    else modify(rt<<1|1,mid+1,r,x);
    pushup(rt);
}
int query(int rt,int l,int r,int x,int y)
{
    if(x<=l&&r<=y) return ans[rt];
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(rt,l,r);
    int ret=2000000000;
    if(x<=mid) ret=min(ret,query(rt<<1,l,mid,x,y));
    if(y>mid) ret=min(ret,query(rt<<1|1,mid+1,r,x,y));
    return ret;
}

int main()
{
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(top && a[st[top]]<=a[i]) --top;
        pre[i]=st[top];//前面第一个比ai大的数 
        st[++top]=i;
    }
    modify(1,0,n,0);
    int l=0;//可转移范围 
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(s[i]-s[l]>m) ++l;
        mmx(1,0,n,pre[i],i-1,a[i]);
        f[i]=query(1,0,n,l,i-1);
        modify(1,0,n,i);
    }
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}

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解法3

花式运用题目单调性，用单调栈/队列：博客(O(n))