CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums

Posted 2020-11-30 chtholly

题意

给(n)个1和(m)个0，定义一个01串的权值为它所有前缀和的最大值（包括0），求可以组成的所有不同串的权值和，答案对998244853取模

思路

由于数据较小，本题有个(O(n^2))比较复杂的DP做法，自行百度。。。

实际上本题用数学规律可以(O(n))做

设(f_i)表示权值为(i)的01串数量，直接求不容易，再设(g_i)为权值至少为(i)的01串数量，那么(f_i=g_i-g_{i+1})

利用求卡特兰数列的一种方法：将01串看做从坐标系((0,0))到((m,n))的一条路径，即纵轴为1，横轴为0
此时(g_i)表示直线(y=x+i)，求经过它的路径；类比卡特兰数列，我们将((0,0))做个对称点变成((-i,i))，从((-i,i))到((m,n))的所有路径均为经过(y=x+i)的路径，即(g_i=C(n+m,n-i))

预处理个组合数即可求出所有的(g)，从而求出答案

然后写出来样例都过不了

问题出在上面的做对称点，为什么要做对称点？因为做了对称点后可以保证每条路径都过直线(y=x+i)，但如果((0,0))到((n,m))本来就必过(y=x+i)就不能做对称点了

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 4005
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 998244853;
int n,m;
ll inv[N],jc[N];

template <class T>
void read(T &x)
{
    char c; int sign=1;
    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
ll quickpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
void init(int maxn)
{
    jc[0]=1; for(int i=1;i<=maxn;++i) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    inv[maxn]=quickpow(jc[maxn],mod-2);
    for(int i=maxn-1;i>=0;--i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(int n,int m) { return n>=m ? jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod : 0; }
ll g(int i) { return (m>n-i) ? C(n+m,n-i) : C(n+m,n); }
int main()
{
    read(n);read(m);
    init(N-1);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=n;++i) ans+=(g(i)-g(i+1))%mod*i%mod;
    cout<<(ans%mod+mod)%mod<<endl;
    return 0;
}