信号与系统_前三章_妙题汇总

Posted 2020-11-30 clouds42

信号期中纠错

• 线性时不变离散系统稳定,其单位样值响应(h(n))必须满足
  [ sum_{n=-infty}^{infty}|h(n)|<infty ]

• 线性时不变离散系统因果,其单位样值响应(h(n))必须满足
  [ h(n)=h(n)u(n) ]

  [ egin{align}f(t)*delta(t-t_0)&=f(t_0) otag\f(t)cdotdelta(t-t_0)&=f(t_0)delta(t-t_0) otagend{align} ]

• (f(t))的带宽为(W),则(f(t)sin(omega_0t+frac{pi}{4}))的带宽为
  [ 2W ]

• 序列(delta(frac{n}{2}))可用(delta(n))表示为
  [ delta(n) ]

• 某线性时不变离散系统的单位样值响应为(h(n)),当激励为(u(n)-u(n-2))时,系统的输出为
  [ h(n)+h(n-1) ]

• 求下列序列的最小正周期

  1. (cos(frac{pi}{3}n)+cos(frac{5pi}{3}n))

     [ egin{align} T_1&=frac{2pi}{frac{pi}{3}}=6 otagT_2&=frac{2pi}{frac{5pi}{3}}=frac{6}{5} otag end{align} ]
     所以周期是两者最小公倍数,为6.

  2. (cos(frac{pi}{3}n)cos(frac{5pi}{3}n))

     需要使用积化和差
     [ cos(frac{pi}{3}n)cos(frac{5pi}{3}n)=frac{1}{2}[cos(2pi)+cos(-frac{4pi}{3})] ]
     还需要对两者分别求周期
     [ egin{align} T_1&=frac{2pi}{2pi}=1 otagT_2&=frac{2pi}{-frac{4pi}{3}}=-frac{3}{2} otag end{align} ]
     最小公倍数为(3),所以周期为(3).

• 已知(f(t)=e^{-2t}[u(t)-u(t-4)]),求其傅氏变换
  [ f(t)=e^{-2t}u(t)-e^{-8}cdot e^{2(t-4)}u(t-4)leftrightarrow frac{1}{2+jomega}-e^{-8}frac{1}{2+jomega}e^{-jomega4} ]
  将信号拆分,凑成了可以使用时移特性的形式.

• 求(u(2t-4))得傅氏变换

  根据尺度变换性质可知
  [ f(at+b)leftrightarrow frac{1}{|a|}e^{jomega(frac{b}{a})}F(frac{omega}{a}) ]
  将函数代入,可得
  [ u(2t-4)leftrightarrow frac{1}{2}e^{-jomega(frac{-4}{2})}F(frac{omega}{2}) ]
  又因为
  [ F(omega)=pidelta(omega)+frac{1}{jomega} ]
  所以
  [ frac{1}{2}e^{-jomega(frac{-4}{2})}F(frac{omega}{2})=frac{1}{2}e^{-jomega(frac{-4}{2})}[pidelta(frac{omega}{2})+frac{1}{jfrac{omega}{2}}] ag{*} ]
  根据冲激函数的性质
  [ delta(at)=frac{1}{|a|}delta(t) ]
  则((*))式可以写为
  [ frac{1}{2}e^{-jomega(frac{-4}{2})}2pidelta(omega)+frac{1}{2}e^{-jomega(frac{-4}{2})}frac{1}{jfrac{omega}{2}}=pidelta(omega)+frac{e^{-jomega 2}}{jomega} ]

• 求信号((1-t)frac{d}{dt}[e^{-2t}delta(t)])的傅氏变换
  [ egin{align} (1-t)frac{d}{dt}[e^{-2t}delta(t)]&=(1-t)delta^{'}(t) otag&=delta^{'}(t)-tdelta^{'}(t) otag end{align} ]
  由于
  [ delta^{'}(t)leftrightarrow jomega ]
  以及频域微分特性
  [ tf(t)leftrightarrow jfrac{d}{domega}F(omega) ]
  可得
  [ egin{align}delta^{'}(t)-tdelta^{'}(t)&=jomega-[j(frac{d}{domega}jomega)] otag\&=jomega+1 otagend{align} ]

• 求信号(e^{-(2+j5)t}u(t))的傅氏变换

[ egin{align}e^{-(2+j5)t}u(t)&=e^{-2t}u(t)e^{-j5t} otag\&=frac{1}{2+j(omega+5)} otagend{align} ]

? 此处用了单边指数的傅氏变换公式.