Project Euler 53: Combinatoric selections

Posted 2020-11-30 metaquant

从12345这个数字中挑选出三个数共有十种方式：
[ 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245,345 ]
在组合学中，我们将其记为(C(5,3)=10)。一般地：
[ C(n,r)=frac{n!}{r!(n-r)!}, where rle n ]
其中(n!=n imes(n-1) imescdots imes3 imes2 imes1)且(0!=1)。我们可以发现，只到(n=23)，才有一个组合数(C(23,10)=1144066)超过了一百万。那么，对于(1le nle 100)中有多少个(C(n,r))大于一百万(可以重复计算)？

分析：我们在十五题中已经编写过计算组合数的函数，这里可以直接拿来用。当然，我们遍历一至一百，找到所有大于一百万的组合数，统计其个数即为题目所求，但还有一个效率更高的方法。我们知道对于特定的(n)，(C(n,r))先随着(r)的增加而增加，到达最大值后再随着(r)的增加而减少，且组合数具有对称性，即(C(n,r)=C(n,n-r))。显然，如果(C(n,r))大于一百万，那么从(C(n,r))至(C(n,n-r))中的所有数都会大于一百万，这样的数的个数(k=(n-r)-r+1)，因此对于特定的(n)，只要找到第一个大于一百万(r)的值，就不需要继续往后寻找，可以直接知道对于这个特定的(n)，有多少个数会大于一百万。题目已经说明，在(，n=23，r=10)时会有第一个数大于一百万，则我们可以从23开始遍历，依次寻找每个(n)值下大于一百万的第一个(r)值，然后计算出在这个(n)下有多少数大于一百万，最后把所有的值加总，即为在(1le nle100)时组合数大于一百万的个数。代码如下：

# time cost = 997 μs ± 5.72 μs

from math import factorial as fac

def comb_num(n,k):
    num = fac(n)/(fac(n-k)*fac(k))
    return num

def main():
    count = 0
    for n in range(23,101):
        for r in range(1,n//2):
            if comb_num(n,r) > 10**6:
                count += (n - 2*r + 1)
                break
    return count