序列自动机 浅谈

Posted 2020-11-30 kamimxr

其实这个东西真的算自动机吗？好像还真的符合自动机的定义啊；

我将在下面用人话来定义序列自动机，并不像某度某科一样不说人话；

设一个字符集S，nxt[i][j]表示第i个位置往后第一个j元素出现的位置；

这个nxt数组可以O(n)的求出来，可以自行验证；

for(int i=n-1;i>=0;--i){
    for(int j=1;j<=26;++j) nxt[i][j]=nxt[i+1][j];
    nxt[i][s[i+1]-‘a‘+1]=i+1;
}

我们会发现一个神奇的事情：这是一个DAG！

她能干什么事情呢？

 

1.判断是否是原字符串的子序列

当我们构造出nxt数组之后，可以贪心的寻找子序列；

 

2.求一个序列的子序列个数；(可以限定序列的长度)

我们在DAG上跑拓扑DP，f[v][j]表示从1~v寻则j个元素的方案数；

显然的：f[v][j]+=f[u][j-1];

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
#define dec(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
char s[3010];
int nxt[3010][40];
int n,m;
long long f[3010][3010];
int rudu[3010];
const int p=998244353;
queue<int> qwq;
void tp()
{
	qwq.push(0);
	f[0][0]=1;
	while(qwq.size()){
		int u=qwq.front();
		qwq.pop();
		inc(i,0,25){
			if(!nxt[u][i]) continue;
			inc(j,0,u) f[nxt[u][i]][j+1]=(f[nxt[u][i]][j+1]+f[u][j])%p;
			--rudu[nxt[u][i]];
			if(rudu[nxt[u][i]]==0) qwq.push(nxt[u][i]);
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);cin>>m;
	dec(i,n-1,0){
		inc(j,0,25) nxt[i][j]=nxt[i+1][j];
		nxt[i][s[i+1]-‘a‘]=i+1;
		inc(j,0,25) if(nxt[i][j]!=0) rudu[nxt[i][j]]++;
	}
	tp();	
    long long ans=0;
	inc(i,1,n) ans=(ans+f[i][m])%p;
	cout<<ans%p;
}
/*
addeade
3

aa
1
*/

 

3.求两串的公共子序列个数

两串都构造一下，直接跑就好了

long long dfs(int x,int y){
    if(f[x][y]) return f[x][y];
    for(int i=1;i<=26;++i)
        if(nxt1[x][i]&&nxt2[y][i])
            f[x][y]+=Dfs(nxt1[x][i],nxt2[y][i]);
    return ++f[x][y];
}

 

4.求字符串的回文子序列个数

 首先原串与反串都建一遍；

就相当于从左右端点向中间跑自动机；

显然：x+y<=n+1才会合法；

但要注意，我们只能统计偶数长度的字符串，而不能统计奇数个数的字符串；

因为我们永远都是两个两个地串；

long long Dfs(int x,int y){
    if(f[x][y]) return f[x][y];
    for(int i=1;i<=a;++i)
        if(nxt1[x][i]&&nxt2[y][i]){
            if(nxt1[x][i]+nxt2[y][i]>n+1) continue;
            if(nxt1[x][i]+nxt2[y][i]<n+1) f[x][y]++;
            f[x][y]=(f[x][y]+Dfs(nxt1[x][i],nxt2[y][i]))%mod;
        }
    return ++f[x][y];
}

 

 

DAG