$P3092 [USACO13NOV]$没有找零

Posted 2020-11-30 liuz8848

(Description)

题面
有(n(n<=1e5))个商品和(k(k<=16))个硬币，给定每个硬币的面额和商品价格，要求按照顺序购买商品，每次可以拿出一个硬币，购买从上次结算到现在的所有物品（前提是可以支付得起），不会找零，求最优方案使得最终剩余的面额和尽可能大

(Solution)

一道看起来比较简单但实际上就是很简单的题，中午硬是没想出来，下午才有了思路，过掉了这道题
真是一道降智好题
比较显然的是需要对硬币使用情况状态压缩
一开始的想法是设(dp[i][j])表示硬币使用情况是(i)时，当前考虑到(j)，剩余(dp[i][j])，也记不太清了，总之有很多思路，但是多半没法转移或者会(MLE)。结果我下午才发现我是个傻子，注意到题目中一条性质是不能找零，所以我们知道买完所有商品时硬币的使用情况，也就知道剩余的面额和了，所以不需要用(dp[i][j])表示剩余面额。

那么换种思路，因为题目中提到按照顺序买，所以设(dp[i])为选择状态为(i)时买到的右边界，转移过程大概为枚举状态，枚举哪颗硬币，再枚举买完后的右边界，检验是否合法，取(max)即可。但这样做(O(nSk)),妥妥(TLE)，考虑预处理每个位置每颗硬币最远买到什么地方，直接(O(Sk))转移即可。而预处理的过程可以(O(nk))解决，总复杂度可以接受。

为什么对于一种硬币，尽可能往后买的贪心是对的呢，还是基于题目的性质，不能找零，当这个硬币用掉不管买多少答案都会减去这个硬币的面值，不如让他买的尽可能多，这样才有可能让后面的硬币省下来。

(Code)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define re register
#define maxn 100010
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int k,n,w[20],c[maxn],sumc[maxn],pos[maxn][20],MAX; 
int dp[maxn],val[maxn],sums,ans;
void work(int x)
{
    int r=1,l=1;
    while(r<=n)
    {
        while(sumc[r]-sumc[l-1]>w[x]) //这里注意写while，因为有可能加入一个后好几个区间都超过了面额 
        {
            pos[l][x]=r-1;
            l++;
        }
        r++;
    }
    while(sumc[r]-sumc[l-1]>w[x]) 
    {
        pos[l][x]=r-1;
        l++;
    }//调整 
    for(re int i=l;i<=n;++i) pos[i][x]=n;//注意把后面没有处理的区间解决掉 
    
}
void pre()
{
    for(re int i=0;i<=MAX;++i)
    {
        int now=i,cnt=1;
        while(now)
        {
            if(now&1) val[i]+=w[cnt];
            now>>=1,cnt++;
        }
    }
}
int main()
{
    k=read(),n=read();
    MAX=(1<<k)-1;
    for(re int i=1;i<=k;++i) w[i]=read(),sums+=w[i];
    for(re int i=1;i<=n;++i) c[i]=read(),sumc[i]=sumc[i-1]+c[i];
    for(re int i=1;i<=k;++i) 
    work(i);
    pre();
    for(re int s=0;s<=MAX;++s)
        for(re int i=1;i<=k;++i)
        {
            if(s&(1<<i-1)) continue;
            dp[s|(1<<i-1)]=max(dp[s|(1<<i-1)],pos[dp[s]+1][i]);
        }
    ans=0x3f3f3f3f;
    for(re int s=0;s<=MAX;++s)
    {
        if(dp[s]==n) ans=min(ans,val[s]);
    }
    if(ans==0x3f3f3f3f) printf("-1
");
    else printf("%d
",sums-ans);
    return 0;
}