每日一题_191111

Posted 2020-11-30 math521

((15 ext{年湖北卷理科})) 如图,圆(C)与(x)轴相切于点(T(1,0)),与(y)轴正半轴交于两点(A,B(B)在(A)的上方()),且(|AB|=2).
((1)) 圆(C)的标准方程为(underline{qquadqquad});
((2)) 过点(A)任作一条直线与圆(O:x^2+y^2=1)相交于(M,N)两点,下列三个结论:
① (dfrac{|NA|}{|NB|}=dfrac{|MA|}{|MB|};)
② (dfrac{|NB|}{|NA|}-dfrac{|MA|}{|MB|}=2;)
③ (dfrac{|NB|}{|NA|}+dfrac{|MA|}{|MB|}=2sqrt{2};)
其中正确结论的序号是underline{qquadqquad}(写出所有正确结论的序号).

解析:
((1)) 由题可设圆(C)的标准方程为[ (x-1)^2+(y-b)^2=b^2,b>0.]
取(AB)中点(E),连接(EC),(AC)

则有[ 1^2+1^2=|EC|^2+|EA|^2=|AC|^2=b^2.]所以(b=sqrt2).因此所求圆(C)的方程为[(x-1)^2+(y-sqrt{2})^2=2.]
((2)) 法一 结合((1))可知(A(0,sqrt{2}-1)),(B(0,sqrt{2}+1)),设(N(cos heta,sin heta)),则
[ egin{split} dfrac{|NA|}{|NB|} =&sqrt{dfrac{cos^2 heta+left(sin heta-sqrt{2}+1 ight)^2}{cos^2 heta+left(sin heta-sqrt{2}-1 ight)^2}} =&sqrt{ dfrac{left(sqrt{2}-sin heta ight)(sqrt{2}-1)}{(sqrt{2}-sin heta)(sqrt{2}+1)}} =&sqrt{3-2sqrt{2}}=sqrt{2}-1. end{split} ]
同理可得[ dfrac{|MA|}{|MB|}=sqrt{2}-1.]因此结论 ①②③ 均正确.
法二 结合阿波罗尼斯圆的知识可知(A,B)两点是关于圆(O)的一对反演点,且有
[dfrac{|NA|}{|NB|}=dfrac{|MA|}{|MB|}=sqrt{2}-1.]因此结论 ①②③ 均正确.
法三 结合((1))可知(A(0,sqrt{2}-1)),(B(0,sqrt{2}+1)).如图,连接(OM,ON),

由于[dfrac{|OA|}{|ON|}=dfrac{|ON|}{|OB|}=sqrt{2}-1.]因此 $ riangle OANsim riangle ONB $ ,于是[ angle OBN=angle ONA=angle OMA.]于是 ( riangle ABNsim angle AMO) ,所以[ dfrac{|NA|}{|NB|}=dfrac{|OA|}{|OM|}=sqrt{2}-1.]
因此结论 ①②③ 均正确.