[总结]中位数及带权中位数问题

Posted 2020-11-29 cyanigence-oi

目录

• 一、中位数问题
  • 1. 问题模型
  • 2. 结论
  • 3. 推导
  • 4. 例题
• 二、带权中位数问题
  • 1. 问题模型
  • 2. 结论
  • 3. 推导
  • 4. 例题

---

一、中位数问题

1. 问题模型

数轴(x)上有(n)个点，现在给出这(n)个点的坐标(a[i](iin [1,n]))，让你选择一个点(k(kin [1,n]))，使得每个点到点(k)的距离之和最小。

2. 结论

点(k)为序列的中位数时最优：
若n为奇数，点(k)位于a[(n+1)/2]处最优；若n为偶数，点(k)位于(a[n/2])或(a[n/2+1])均为

3. 推导

首先将(a[1])~(a[n])排序，假设点(p)选在坐标(q)处，点(p)左侧有(l)个点，点(p)右侧有(r)个点，此时分为两种情况：
(llt r)，若点(p)向右移动单位距离，则距离之和减小((r-l))。
(rlt l)，若点(p)向左移动单位距离，则距离之和减小((l-r))。

因此保证点p的左侧节点和右侧节点数量尽量相等时（即(l=r)），距离之和最优。

该结论同样适用于求出最优点(k)，当点(k)的左右两侧节点数相等时为最优解，此时(k)就是序列的中位数。此时无论左移或右移点(k)都会使结果更差。

4. 例题

[CH0501]货仓选址

描述
在一条数轴上有N家商店，它们的坐标分别为 A[1]~A[N]。现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式
第一行一个整数N，第二行N个整数A[1]~A[N]。
输出格式
一个整数，表示距离之和的最小值。

样例输入
4
6 2 9 1
样例输出
12
数据范围与约定
对于100%的数据: N<=100000, A[i]<=1000000

显然，将货仓建于中位数处最优。
Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,pos,a[100010];ll ans=0;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    if(n&1) pos=(n+1)>>1;
    else pos=n>>1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(a[pos]-a[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

二、带权中位数问题

1. 问题模型

数轴(x)上有(n)个点，现在给出这(n)个点的坐标(a[i](iin [1,n]))以及这(n)个点的点权(num[i])，让你选择一个点(k(kin [1,n]))，使得每个点到点(k)的距离与点权的乘积之和最小。

2. 结论

满足(sum_{i=1}^{k} num[i]geq tot/2)时((tot)为所有点权之和)的最小点(k)为最优点。

3. 推导

可以把每个节点(i)由原来只有一个节点看做有(num[i])个点同时位于坐标(i)上，此时我们知道当点(k)位于(tot/2)的坐标上最优。

4. 例题

抗震救灾

问题描述
这场灾难发生后，国家决定设立研究所研究灾后重建工作，由全国各地派技术人员来参加。因为每个地区所派的技术人员数目不
同，出于节约经费的问题，所以目前还没有决定到底有在哪个地区设置研究所进行研究。假设所有地区都在一条直线上，现在
只知道每个地区与汶川的距离和该地派出技术人员的数目（假设汶川在最左端）。请你编程帮助他们确定在哪个地区建立研究
所可以使所有技术人员集中到该地区的费用总和最小。

输入格式
输入文件每一行描述一个地区的信息（地区数<=5000）。 对于每一行，首先是该地区派出的技术人员数目，紧跟着是这个地区相对于汶川的距离，最后是该地区的名称。（技术人员数<=100,地区的相对距离<=10^31,地区名称长度<=20,数据保证有唯一的解）；
输出格式
输出文件只需一行，即研究所设定的地区名称。

Sample Input1
7 9289 shengyan
5 8523 beijing
3 5184 guilin
8 2213 chongqing
10 0 wuhan
Sample Output1
chongqing

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n=1;
ll tot,sum=0;
struct node{
    ll num,dis;
    char name[50];
    bool operator < (const node &other) const{
        return dis<other.dis;
    }
}p[5050];
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%s",&p[n].num,&p[n].dis,p[n].name)!=EOF) tot+=p[n].num,n++;
    n--;
    sort(p+1,p+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum+=p[i].num;
        if(sum>=tot/2){
            printf("%s
",p[i].name);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}