最小生成树算法（未完成）

Posted 2020-11-29 mzchuan

关于图的几个概念定义：

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
• 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
• 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。 

 

两个最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)算法完全等价。

如果输入邻接矩阵，一般用Prim。

如果输入边表，一般用Kruskal。

1.Kruskal算法

时间复杂度和把所有边排序的复杂度一样，为O(m log m)O(mlogm)。

如果只需要求最小生成树的最大边的权值，可以在O(m)O(m)的时间内求出。
（二分，每次丢掉一半）

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。 
1. 把图中的所有边按代价从小到大排序； 
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林； 
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,viui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。 
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

 

2.Prim算法

可以使用堆优化，类似Dijkstra，但是使用堆优化，效率未必提高。

对于完全图的情况：

不使用堆优化，时间复杂度为O(n^2)O(n2)；

使用堆优化，时间复杂度为O(n^2 log n)O(n2logn)。

所以说对于以邻接矩阵输入的图，没必要去用Kruskal。

设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

 

初始状态：

设置2个数据结构：

lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST

mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST

 

我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：

 

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）

 

明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST

此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

 

明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST

 

此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

 

 

明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST

 

此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

 

明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST

 

此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

 

很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST

 

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

 

至此，MST构建成功，如图所示：

代码：

 1 //存放地图
 2 int ma[100][100];
 3 //lowcost存放到起点的距离
 4 //mst表示i指向的点，
 5 int lowcost[100],mst[100];
 6 //n表示点数
 7 int n;
 8 //初始化地图
 9 void init()
10 {
11     for(int i=0;i<=n;i++)
12     {
13         for(int j=0;j<=n;j++)
14         {
15             //本地到本地的权值为0，到其他点的权值为无穷
16             if(i==j)
17             {
18                 ma[i][j]=0;
19             }
20             else
21             {
22                 ma[i][j]=INF;
23             }
24         }
25     }
26 }
27 //u表示起点
28 int prim(int u)
29 {
30     //ans表示树上所有边的权值和
31     int ans=0;
32     //初始化lowcost,mst
33     for(int i=1;i<=n;i++)
34     {
35         //将所有指向起点的边录入lowcost中
36         lowcost[i] = ma[u][i];
37         //所有的点都指向起点
38         mst[i]=u;
39     }
40     //起点已在树上，所以为-1
41     mst[u] = -1;
42     //遍历其他n-1个点
43     for(int i=1;i<n;i++)
44     {
45         //当前最小权值为INF
46         int mi=INF;
47         //当前最小值指向的点是-1
48         int v=-1;
49         //遍历所有的点
50         for(int j=1;j<=n;j++)
51         {
52             //如果该点不在树上，且该点到起点的距离小于当前最小权值
53             if(mst[j]!=-1&&lowcost[j]<mi)
54             {
55                 //记录这个较小的点和权值
56                 v=j;
57                 mi=lowcost[j];
58             }
59         }
60         //v！=-1表示在所有与树连接的最小权值
61         if(v!=-1)
62         {
63             //将这个点标记
64             mst[v]=-1;
65             //累计这个边的权值
66             ans+=lowcost[v];
67             //遍所有的点
68             for(int j=1;j<=n;j++)
69             {
70                 //如果j不在树上且j到树上的距离比j到v的距离大
71                 //更新这个数据，并将mst[j]指向v
72                 if(mst[j]!=-1&&lowcost[j]>ma[v][j])
73                 {
74                     lowcost[j]=ma[v][j];
75                     mst[j]=v;
76                 }
77             }
78         }
79     }
80     //返回树上所有边的权值和
81     return ans;
82 }