算法#5SparseTable

Posted 2020-11-29 schwarzkopf-henkal

Tarjan的SparseTable，即ST表，用于求RMQ区间最值问题。

我对ST表的时间复杂度是有所疑惑的，我认为查询并不能够达到O（1）的速度。也许只是常数？但是查询区间长度为n的时候就要对长度进行logn次调整，蓝书上写的是这样，我不太确定。

本质上，由于寻求区间最值的特性，在给定区间内多次覆盖是没有关系的，但是覆盖超过给定区间的操作是不合法的，所以我们建立一个数组储存从i点开始延伸(2^j)长度区间内的最小值。

对于每个区间，一定有(2^k)大于该区间长度的一半，于是我们找到这个k并且用两个这样长度不同起点的数据覆盖区间即可。

至于ST表的建立，递推方法是最简便的一种。首先，对于每个起点，j为零的时候其值为该点的值，然后对于j大于零，首先按j从小到大枚举，有：
[ ext{st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+1<<j-1][j-1])}]

递推要注意边界，避免越界。

板子贴在这里。

void?prepare(){
????for(int?i=1;i<=n;i++)
????????st[i][0]=a[i];
????for(int?j=1;1<<j<=n;j++)
????????for(int?i=1;i-1+(1<<j)<=n;i++)
????????????st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
int?result(int?l,int?r){
????int?k=0;
????while(1<<k+1<=r-l+1)
????????k++;
????return?max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}

理论上不会有问题，有的话会来改正的。

我就说吧，蓝书上的代码是有问题的。交上去之后TLE了，查询部分不是O（1）的，要考虑优化了。

[doge]，寻找合适的k那部分可以直接用STL的log2函数替代掉。修改过的代码应该是这样的：

void?prepare(){
????for(int?i=1;i<=n;i++){
????????cin>>a[i];
????????st[i][0]=a[i];
????}
????for(int?j=1;1<<j<=n;j++)
????????for(int?i=1;i-1+(1<<j)<=n;i++)
????????????st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
int?result(int?l,int?r){
????int?k=log2(r-l+1);
????return?max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}

我****被输入卡了……我就说怎么特么的TLE关了同步的cin也要超时

我觉得cin方便还不让我用了是吧……