化繁为简——算法之魅力

Posted 2020-11-29

什么是算法？

算法其实就是对一个问题或一类问题的解决过程的描述。大家对高斯不陌生吧？以首项加末项乘以项数除以2用来计算“1+2+3+4+5+···+（n-1）+n”的结果。我们把它叫做高斯算法，因为可以通过公式来解决复杂的问题，大大缩短了解题时间。当然算法的魅力还不止如此，我们接着往下看：

这两段代码都可以称之为算法，因为分别可以解决两个数相加和从1加到n的问题。算法并不一定要非常复杂，小到一行代码，多到上万行代码，只要能解决特定问题，就是算法。

如何评估算法优劣

使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大

现有两个求斐波那契数 (fibonacci number) 的算法

（斐波那契数列：1 1 2 3 5 8 ……）
这里

public static int fib1(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

public static int fib2(int n) {
    if (n <= 1) return n;

    int first = 0;
    int second = 1;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int sum = first + second;
        first = second;
        second = sum;
    }
    return second;
}

这两个算法哪个更优呢？

如果单从执行效率上进行评估，可能会想到这么一种方案

比较不同算法对同一组输入的执行处理时间

这种方案也叫做：事后统计法

我们的做法是：

public static void main(String[] args) {
    int n = 45;//求第45个斐波那契数

    TimeTool.check("fib1", new Task() {
        public void execute() {
            System.out.println(fib1(n));
        }
    });//5.815秒

    TimeTool.check("fib2", new Task() {
        public void execute() {
            System.out.println(fib2(n));
        }
    });//0.0秒
}

上述方案有比较明显的缺点

执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的环境因素

必须编写相应的测算代码

测试数据的选择比较难保证公正性 （n=100时可能第一种算法时间更短，n=200时可能第二种算法时间更短）

一般从以下维度来评估算法的优劣

正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）

时间复杂度（time complexity）：估算程序指令的执行次数（执行时间）

空间复杂度（space complexity）：估算所需占用的存储空间

我们用这种方案评估一下计算1+2+...+n的算法

显然第二种算法更好。难道是因为第二种方法代码更短吗？斐波那契数列的例子已经告诉我们并不是代码越短越好。这个例子中第二个算法只需要三步运算就可以解决问题，而第一种需要循环n次。首先都满足正确性、可读性、健壮性的条件，然后从时间复杂度来讲，假定一步运算的执行时间的一定的，我们考察一下大致需要执行多少次指令，就可以比较出两种算法的时间长短；再从空间复杂度考虑，需要的变量越少、开辟的存储空间越小，算法更好。

大O表示法

一般用大O表示法来描述复杂度，它表示的是数据规模 n 对应的复杂度

方法步骤：

（1）估算时间复杂度/空间复杂度(主要是时间复杂度)

（2.1）忽略常数、系数、低阶

? $9$>> O(1)

? $2n+6$ >> O(n)

? $n^2+2n+6$ >> O($n^2$)

? $4n^3+3n^2+22n+100$ >> O($n^3$)

(2.2) 对数阶一般省略底数

? $log_2n=log_29+log_9n$ (任意底数的对数可通过乘以一个常数相互转化)

? 所以 $log_2n$、$log_9n$ 统称为 $logn$

注意：大O表示法仅仅是一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率

计算下面几段代码的时间复杂度

public static void test1(int n) {
    //1（进行一次判断操作）
    if (n > 10) { 
        System.out.println("n > 10");
    } else if (n > 5) { // 2
        System.out.println("n > 5");
    } else {
        System.out.println("n <= 5"); 
    }
    // 1（定义一次i) + 4(i累加四次) + 4（判断i<4四次) + 4（循环体一条语句执行四次）=9
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法时间复杂度O(1)
}

public static void test2(int n) {
    // 1(定义一次i）+ 3n（i累加n次+判断i<n n次+循环体一条语句执行n次)=1+3n
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法时间复杂度O(n)
}

public static void test3(int n) {
    // 1(定义一次i） + 2n（i累加n次+判断i<n n次) + n(外层循环体语句执行n次) * (1(定义一次j） + 3n（j累加n次+判断j<n n次+内层循环体一条语句执行n次))=3n^2 + 3n + 1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            System.out.println("test");
        }
    }
    // 大O表示法时间复杂度O(n^2)
}

public static void test4(int n) {
    // 8 = 2^3
    // 16 = 2^4

    // 3 = log2(8)
    // 4 = log2(16)

    // 执行次数 = log2(n)
    while ((n = n / 2) > 0) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法时间复杂度O(logn)
}

public static void test5(int n) {
    // log5(n)
    while ((n = n / 5) > 0) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法时间复杂度O(logn)
}

public static void test7(int n) {
    // 1(定义一次i） + 2*log2(n)(i*2运算次数) + log2(n)（外层循环执行次数） * (1 + 3n)（内层循环执行次数）
    for (int i = 1; i < n; i = i * 2) {
        // 1 + 3n
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            System.out.println("test");
        }
    }
    // 1 + 3*log2(n) + 2 * nlog2(n)
    // 大O表示法时间复杂度O(nlogn)
}

$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2n)<O(n!)<O(n^n)$

可以借助函数生成工具对比复杂度的大小

https://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php

总而言之，现今大数据时代，算法的使用和研发越来越受人瞩目。算法也逐渐进入人们的生活。篇幅有限，在此不再过多讲解算法的知识。我们下期再会。

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