$P2657 [SCOI2009] windy$数

Posted 2020-11-29 liuz8848

属于数位(DP)入门级别的题目，但我做这类题不多，还是要总结一下这道经典题目

(Description)

题面
给定(a,b),求([a,b])区间有多少个数满足:任意两个相邻数位之间的差的绝对值(>=2)
(a,b<=1e12)

(Solution)

数位(DP)的基本思想是一个一个数确定，逼近到边界
数位(DP)一般设计状态为(dp[i][s])表示当前考虑到第(i)位（从最低位编号），当前位置或附近位置状态为(s)的方案数。
有时候需要预处理，有时候直接数位(dp)即可

对于这个题，比较显然的是设计状态(dp[i][j])表示当前考虑到第(i)位（(1--(i-1))都已经考虑），第(i)位为(j)的方案数
状态转移比较显然，注意也要处理(0)的情况

void pre()
{
    pow[0]=1;
    for(re int i=1;i<=13;++i) pow[i]=pow[i-1]*10;//pow[1]=10，i表示1o^i;
    for(re int i=0;i<=9;++i) dp[1][i]=1;//单独处理一位的情况 
    for(re int i=2;i<=12;++i)//注意从2开始 
     for(re int j=0;j<=9;++j)
      for(re int k=0;k<=9;++k)
        if(abs(j-k)>=2) dp[i][j]+=dp[i-1][k];//把0的情况也处理 
}

统计答案时就照着数位(DP)的套路统计，不过这道题要注意前导零，比如例子:(65536)

如此统计还有几个问题：
(1.)不能直接统计(00000-59999)，因为像(01xxx)这样的答案会被判断为不合法，但是答案要求不包含前导零，所以这种情况是合法的。所以我们要枚举答案时(1、2、3、4)位数的情况，来消除前导(0)的影响
(2.)注意到每次逼近都是枚举到当前位置的数(-1)，因为这样后面的位置可以考虑所有情况，所以最后会枚举到(65535)而忽略(65536)，把边界设到(x+1)即(65537)就行了。
(3.)注意(65xxx)的答案实际上已经不合法了，我们枚举第二高位的时候会排除这种情况，但到了下一位直接默认这一位是(5)了，因此就不合法了。所以每次跳到下一位之前要判断这一位和前一位是否合法，不合法直接退出,(return)，因为后面美剧的都是(65xxx)，都不合法不用考虑了。
更多细节见代码

(Code)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll a,b;
ll dp[20][20],pow[20],cnt;
void pre()
{
    pow[0]=1;
    for(re int i=1;i<=13;++i) pow[i]=pow[i-1]*10;//pow[1]=10，i表示1o^i;
    for(re int i=0;i<=9;++i) dp[1][i]=1;//单独处理一位的情况 
    for(re int i=2;i<=12;++i)//注意从2开始 
     for(re int j=0;j<=9;++j)
      for(re int k=0;k<=9;++k)
        if(abs(j-k)>=2) dp[i][j]+=dp[i-1][k];//把0的情况也处理 
}
ll ask(ll x)
{
    ll tmp=x,ans=0,last;
    cnt=0;
    while(tmp) {tmp/=10,cnt++;}
    int now=x/pow[cnt-1];//now表示当前考虑的最高位 
    for(re int i=cnt-1;i>=1;--i) 
     for(re int j=1;j<=9;++j)
      ans+=dp[i][j];//因为不包含前导0，所以01这种答案是合法的，枚举每个位置作为起点（1-(cnt-1)）位数的开头
      //枚举的值是1-9，因为它是开头不含前导零，最后不用考虑0的情况，因为数据保证a>=1,考虑不考虑都会被前缀和相减消除 
    for(re int i=1;i<now;++i) ans+=dp[cnt][i];//第cnt位要单独处理 
    last=now;
    x%=pow[cnt-1];//last表示上一位，用于枚举下一位是判断 
    for(re int i=cnt-1;i>=1;--i)
    {
        now=x/pow[i-1];//提取最高位 
        for(re int j=0;j<now;++j)
        if(abs(last-j)>=2) ans+=dp[i][j];
        if(abs(now-last)<2) break;//!!!重要：假如这两个值不符合了，后面不用考虑了。
        //比如10765，后面考虑的都是10xxx，一定都不符合了 
        last=now;//更新一下上一位 
        x%=pow[i-1];//注意取模保证每次取到当前的最高位 
        
    }
    //统计的是开区间，边界数不会被统计
    return ans; 
     
}
int main()
{ 
    a=read(),b=read();
    pre();
    ll tmp1=ask(b+1);
    ll tmp2=ask(a);
    printf("%lld
",tmp1-tmp2);//统计的是开区间，边界数不会被统计
    return 0;
}