直线交点数种类 P2789 直线交点数

Posted 2020-11-28 jason66661010

题目

平面上有N条直线，且无三线共点，那么这些直线能有多少不同的交点数？

https://www.luogu.com.cn/problem/P2789

题目分析

我们将n条直线编号,分别称为直线1、直线2、…、直线n。直线2 与直线1 最多有一个交点，直线3与直线1和直线2最多有2个交点，……，直线n与其它 (n-1) 条直线最多 (n-1) 个交点。

由此看出,n条无三线共点的直线最多的交点数 max=1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2。

但本题我们要求解的是：这 n 条直线共有多少种不同的交点数？ 仍然从举例出发。下面列举了 n=1、2、3、4 四种情况各自的交点情况：

具体分析一下 n=4 的情况：

1)4 条直线全部平行，则 0 交点 { =4*(4-4)}。

2)其中 3 条直线平行，则 3 交点 { =3*(4-3) }。

3)其中 2 条直线平行，则这2条直线与另2条直线的交点数为4,而另2条直线之间可能有0个或1个交点（见 n=2 的情况,共 4 个交点或 5 个交点。{=2*(4-2)+0 或 1 }

4)4 条直线均不平行（可看成 1 条直线平行），这 1 条直线与其它 3 条直线的交点数为 3，而其 它 3 条直线之间的交点数为 3，共 6 个交点。{ =1*(4-1)+3 }

经过以上分析，我们可以得如下结论：

m 条直线的交点方案=r 条平行线与（m-r）条直线交叉的交点数+（m-r）条直线本身的交点方案

=r*(m-r)+(m-r)条直线本身的交点方案 （1<=r<=m）

在具体编程时，我们设置一个标志数组 f[0..max]，在使用上述结论递归求解的过程中，每得到一种交点数 k，则置 f[k]为 true（初始 f[0]~f[max]均为 false）。

参考：https://www.luogu.com.cn/blog/user34320/solution-p2789

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int n, ans = 0; bool f[10010];
void suv(int p, int m) {
    if (p == 0)
    {
        if (!f[m])
            ans++;
        f[m] = 1;
    }
    else for (int r = p; r >= 1; r--)
        suv(p - r, r*(p - r) + m);//当P==2的时候，r*(p - r) + m为2*2+0=4；递归进入后记录f[4]，之后还要继续递归2，因为剩下的2条线还有可能平行或者相交，就是4+0与4+1，会产生新的结果
}
int main() {
    cin >> n; 
    suv(n, 0);
    cout << ans;
}