联考20200604 T2 宝石

Posted 2020-11-28 darknesses

题目：

分析：
你竞赛就我不会生成函数了.jpg
首先考虑(O(nD))的(DP)，设(f[i][j])，表示确定了前(i)个珠子，有(j)种颜色为奇数的情况
简单递推
发现关键是求出(f[n][i])，由于(n)很大，删去这位，求(f_i)
恰好貌似不好求，我们来求至少
设(g_i)为至少有(i)种颜色为奇数的方案数

我们知道：

[e^x=sum_{i=0}frac{x^i}{i!} ]

[e^{-x}=sum_{i=0}(-1)^{i}frac{x^i}{i!} ]

组合起来：
某颜色有奇数个物品的生成函数(frac{e^x-e^{-x}}{2})
某颜色有偶数个物品的生成函数(frac{e^x+e^{-x}}{2})

那么(g)的生成函数我们可以表达为：

[g_i=inom{D}{i}n^i e^{(D-i)x} ]

中间二项式定理展开:

[g_i=frac{inom{D}{i}n!}{2^i}[x^n]sum_{j=0}^{i}(-1)^jinom{i}{j}e^{(D-2i+2j)x} ]

直接取第n项化出来得到：

[g_i=frac{inom{D}{i}i!}{2^i}sum_{j=0}^{i}(-1)^jfrac{(D-2j)^n}{j!(i-j)!} ]

发现是卷积形式大力NTT
然后二项式反演再做一次NTT求得(f)
取合法位置的值求和就是答案

留下了没有数理基础的泪水.jpg

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>

#define maxn 600005
#define MOD 998244353
#define G 3
#define iG 332748118

using namespace std;

inline long long getint()
{
	long long num=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<‘0‘||c>‘9‘)if(c==‘-‘)flag=-1;
	while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)num=num*10+c-48,c=getchar();
	return num*flag;
}

int D,n,m,len=1;
int fac[maxn],inv[maxn];
int A[maxn],B[maxn],rev[maxn];

inline int ksm(int num,int k)
{
	int ret=1;
	for(;k;k>>=1,num=1ll*num*num%MOD)if(k&1)ret=1ll*ret*num%MOD;
	return ret;
}

inline void NTT(int *a,int len,int op)
{
	for(int i=0;i<len;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<len;i<<=1)for(int j=0,wn=ksm(op==1?G:iG,(MOD-1)/(i<<1));j<len;j+=i<<1)
		for(int k=0,w=1;k<i;k++,w=1ll*w*wn%MOD)
		{
			int x=a[j+k],y=1ll*a[i+j+k]*w%MOD;
			a[j+k]=(x+y)%MOD,a[i+j+k]=(x-y)%MOD;
		}
	if(!~op)for(int i=0,Inv=ksm(len,MOD-2);i<len;i++)a[i]=1ll*a[i]*Inv%MOD;
}

inline void mul(int *A,int *B)
{
	NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	NTT(A,len,-1);
}

int main()
{
	D=getint(),n=getint(),m=getint();
	while(len<=2*D)len<<=1;
	for(int i=0;i<len;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?len>>1:0);
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=D;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=D;i++)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=2;i<=D;i++)inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%MOD;
	for(int i=0;i<=D;i++)A[i]=(i&1?-1ll:1ll)*ksm(D-2*i,n)%MOD*inv[i]%MOD;
	for(int i=0;i<=D;i++)B[i]=inv[i];
	mul(A,B);
	for(int i=D+1;i<len;i++)A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<=D;i++)A[i]=1ll*A[i]*fac[i]%MOD*inv[D-i]%MOD*fac[D]%MOD*ksm(inv[2],i)%MOD;
	for(int i=0;i<=D;i++)B[D-i]=(i&1?-1:1)*inv[i];
	mul(A,B);
	int ans=1ll*inv[0]*A[D]%MOD;
	for(int i=1;i<=min(n-2*m,D);i++)ans=(ans+1ll*inv[i]*A[D+i])%MOD;
	printf("%d
",(ans+MOD)%MOD);
}