知识点结构 | 第一章 极限与连续
Posted caodongying
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了知识点结构 | 第一章 极限与连续相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
- 函数的初等特性
- 基本概念
- 一元函数
- 反函数 #注意 单调函数才有反函数
- 例题
- 基本初等函数
- 初等函数
- 复合函数 #辅导书
- 初等特性
- 有介性(绝对值)
- 单调性
- 奇偶性 #注意 判断奇偶性首先说明定义域关于原点对称
- 注意
- 周期性
- 有介性(绝对值)
- 特殊函数 #辅导书
- 符号函数sgnx -1 0 1
- 狄利克雷函数 有理数为1,无理数为0
- 取整函数 向下取整
- 基本概念
- 极限
- 定义与概念
- 极限
- 数列极限
- 函数极限
- 趋向某个点
- 注意
- 套路
- 趋向无穷
- 趋向某个点
- #题型 证明lim数列=A:定义法,|数列-A|<ε→n>....→N=...(含ε)
- 无穷小
注意概念理解- 层次
- 高阶无穷小
- 同阶无穷小
- 等价无穷小
- 层次
- 极限
- 极限的性质
- 一般性质
- 唯一性
- 保号性 (保号性有三个)
- #证明 #不熟(第一保号性)关于极限性质的证明,往往需要指定ε(=A/2等)
- #题型 给定极限情况,利用保号性判断一点是否为极值点
- 法一 导数性质 左邻域f‘(x)与右邻域f‘(x)符号不同
- 法二 图像情况 左邻域f(x)>f(x0),右邻域f(x)<f(x0)这样
- 有界性
- 两个方面
- 数列存在极限则数列有介【有介一定是绝对值】#证明
- 函数极限局部有界性 (趋向某一点的极限,则在去心邻域内有界)
- 注意:数列有极限一定有界,有界不一定有极限,单调有界才必定有极限
- 两个方面
- 列与子列极限性质 #不熟
- 列x(函数)子列n(数列)
- 运算性质
- 四则运算性质
- #注意 四则运算只有在两部分的极限都存在时才可以用
- 复合函数极限运算性质 #不熟
- 四则运算性质
- 存在性质/极限存在准则(研究极限是否存在)
- 准则
- 夹逼定理/迫敛定理(数列/函数) #辅导书注解P7
- #套路
- #题型n项和求极限
- #思路先求和,后极限
- #思路难以求和,夹逼定理(如果n项和相加求极限,分子/分母的各项中有一个不齐次,则对n项和用夹逼)
- #思路 定积分定义(分子齐,分母齐,分母多一次,把多的这一次提出来变成1/n)
- 单调有界的数列必有极限(数列仅仅有界不一定有极限)
- #题型数列极限存在性证明(证数列存在极限,即证单调有界)
- 至于先证明单调还是先证明有界,就观察题目了
- 这里涉及常见不等式(求界)
- #题型数列极限存在性证明(证数列存在极限,即证单调有界)
- 夹逼定理/迫敛定理(数列/函数) #辅导书注解P7
- 准则
- 无穷小的性质
- 一般性质
- #不熟 有界函数*无穷小=无穷小
- #不知道什么用
- 等价无穷小的性质
- #不知道什么用 α~β的充分必要条件是β=α+o(α)
- 常见的等价无穷小(x→0)(均可由洛必达证明,注意洛必达使用条件)
- #不熟 有时候,a为负数,写成分式形式,不易发现
- #辅导书P8 全面的 #不熟两个
- 一般性质
- 一般性质
- 两个重要极限(由等价无穷小推得)
- 内容
- #题型 不定型极限 求极限先看类型(看一下张宇的7种未定型极限) #易忘 求极限,洛必达/能否直接代入值算
- #题型 0/0 注意转换形式以运用套路/洛必达 #注意 两种情况用了e^x-1,-1的情况其实可以直接用a^x-1~xlna
- 内容
- #题型 1^∞
- 内容
- #题型 ∞/∞
- 内容
- #题型 0*∞ #不熟 看一下例题
- 内容
- #题型 ∞-∞
- 有分母则通分,无分母则分子有理化
- #题型 0/0 注意转换形式以运用套路/洛必达 #注意 两种情况用了e^x-1,-1的情况其实可以直接用a^x-1~xlna
- #不知道什么用 #辅导书 P9
- (0,2/π)时,sinx<x<tanx
- x>0时,ln(1+x)<x,simx<x
- 定义与概念
- 连续与间断
- 概念
- 连续
- 函数在某一点连续(极限值=函数值)
- 函数在区间上连续(区间内点点连续,端点一侧极限值=函数值)
- 间断(在某一点的极限值≠函数值)
- 内容
- #题型 间断点及分类 先找不在定义域的点,再验证
- 连续
- 函数在闭区间上连续的性质
- 最值 函数在闭区间上有最大最小值
- 有介 |f(x)|≤k
- 零点定理 #开区间
- 介值定理 #闭区间[m,M]间的每个值函数都能取到 位于m和M之间的任意值叫介值 #注意 使用介值定理必须出现m、M,且m、M是位于某个区间上的
- #套路
- #例题 即证1在[0,1]值域内
- 概念
以上是关于知识点结构 | 第一章 极限与连续的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章