SYT的水题选讲1

Posted 2020-11-28 icantfindaname

题意

定义一个排列(A)的权值(f(A)=min(i),A^i=I,iin N^+)，其中(A^i)表示转置快速幂，I表示单位排列。例如，(f({1,2,3,4,5})=1,f({2,3,1,5,4})=6).

给定(n)，对于所有长度为(n)的排列(A)，求(prod f(A)operatorname{mod}P).

(Nle 7500),(Pin[10^8,10^9+7])且是质数

source :[USACO20OPEN]Exercise P

题解

一个排列的权值，相当于这个排列所成的环大小的LCM

最后要输出(prod)，所以我们考虑统计答案中每个质数的指数。由于欧拉定理，我们只需要对指数模(P-1)就可以。

有一个常见套路，考虑枚举(p^i)，如果我们发现某个排列的权值是(p^i)的倍数，则给(p)的指数增添一点贡献。

现在有2种DP的做法

• 暴力DP

枚举(p^i)，令(f_{i,1/0})表示长度为(i)的排列，权值是/否(p^i)倍数的方案数，我们枚举1号点所在的排列长度，有

[f_n=sum_{i}C_{n-1}^{i-1}(i-1)!f_{n-i} ]

转移系数我们认为是钦定1号点包含于一个排列(第二维略,请自行补充)

(O(n^3))，过不了。

• 巧妙的DP

对于每一个质数，我们求的是

[sum_Pmax(fac(len_i)) ]

(fac)表示其中包含(p)质因子的个数，(len_i)表示循环圈的长度。

套一层min-max容斥

[sum_isum_Psum_{Ssubseteq P}(-1)^{|S|+1}prod[fac(len_i)ge i] ]

枚举(i)和(p)。我们需要求出，有多少个子集，他们的每一个(p^i|len_i),最后乘一个容斥系数，再乘这个子集出现的次数。

令(t=p^i)。我们考虑(dp_n)表示长度为(nt)的权值，我们有

[dp_i=-sum_jdp_{i-j}C_{it-1}^{jt-1}(jt-1)! ]

转移系数带个负号是因为容斥系数导致的。注意为了凑形式(dp_0=-1).

最终答案下,(p)的指数的贡献是

(sum dp_iC_{n}^{it}(n-it)!)

考虑一个子集出现了多少次。

每次DP的复杂度是(O(frac{n^2}{i^2})).由于(sum_{i=1}^infin frac{1}{i^2})收敛，所以总复杂度(O(n^2))。

代码