矩阵 总结

Posted 2020-11-28 baseai

前言

矩阵是一种较为基础的数学工具，OI里面好像不常考？，反正学完数学一本通里的矩阵，做一些矩阵的应用感觉就应该可以了。行列式也是很有趣的东西，我花时间钻研了一下。下面归纳总结一下我做过的一些矩阵的题型

如果定义这种不会请百度吧 -> 百度矩阵

矩阵乘法

矩阵里面最主要的一种。下面是矩阵乘法的一些题。

• 矩阵快速幂

P3390模板题 基础。

• 矩阵加速递推数列

P1939模板题 加速加法递推直接设状态转移矩阵就好了。

石头游戏 其实想清楚了石头要从一个格子转移到另一个格子，就可联想到用矩阵来表示格子与格子间的的转移。码量有点大。

Codeforces 1182E Product Oriented Recurrence 加速乘法递推数列。这类题首先要把c和f拆开来分别处理。转换一下思维，令 (f_i=f_1^p*f_2^q*f_3^r)，这时候我们就可以对 p,q,r 进行矩阵加速数列处理（找出 p,q,r 转移的规律）。同样的方法令第x项的c的次数为(k_x)，有 (k_x=k_{x-1}+k_{x-2}+k_{x-3}+2*x-6)。总结：乘法递推序列这类题就把递推放到指数上来。Talk is cheap.Show me the code.

Codeforces 1117D Magic Gems 自己写出来一个dp方程，发现这个方程可以用矩阵加速，OK。Talk is cheap.Show me the code.

• 其他矩阵乘法

Codeforces 1252K Addition Robot 把线段树上的点看成矩阵，就可以表示这些运算（突然发现矩阵乘法还可以这样用），线段树维护区间乘。修改就是‘A’，‘B’互换，所以我们每个点保存两个矩阵，比如我们保存一个该区间当前矩阵‘ABBB’，再保存一个可能会翻转成为的矩阵‘BAAA’(字母对应矩阵，点保存矩阵乘积)，修改就交换一下好了。

更多请关注 -> 矩阵刷题题单

总结一下几种题型以及方法：

1.给出加法递推数列，求第n项((n<=10^{18}))。做法：根据题目写转移矩阵，可能会有一些小技巧，要自己想。

2.给出乘法递推数列，求第n项。做法：看一下 (f_i) 可否写成 (a^p+b^q+...+c^r)的形式，考虑 (p,q,r) 可以用加法递推（矩阵加速）求得。（好吧，我这做过一个题）

3.给出一个模拟，求n秒后的状态((n<=10^{9})) 做法：看一下状态转移能不能用矩阵乘法表示出来，如果能就想办法矩阵加速一下。

4.给出一个dp，求dp[n]，((n<=10^{9})) 做法：把dp写出来，看一下能不能用矩阵乘法表示转移，如果能就想办法用矩阵加速一下。

5.给出一些加减乘除，做一些七七八八的东西。(雾 做法：看一下加减乘除符不符合矩阵乘法，如果符合就往矩阵上去想，看一下能不能矩阵乘法套出来(大雾

矩阵树