二项式反演公式证明

Posted 2020-11-28 hsez-cyx

二项式反演

• 二项式反演（binomial inversion）可以表示成

$$f(n)=sumlimits_{i=1}^{n}(-1)^iinom{n}{i}g(i)Leftrightarrow g(n)=sumlimits_{i=1}^{n}(-1)^iinom{n}{i}f(i)$$

• 另一种表示方法

$$f(n)=sumlimits_{i=1}^{n}inom{n}{i}g(i)Leftrightarrow g(n)=sumlimits_{i=1}^{n}(-1)^{n-i}inom{n}{i}f(i)$$

• 证明

设$S$表示一个集合，$A_1$，$A_2$，...，$A_n$分别表示$S$中具有性质$P_1$，$P_2$，...，$P_n$的集合

根据容斥原理，不具有以上性质的元素组成的集合大小为

$$|overline{A_1}cap overline{A_2}cap...cap overline{A_n} |=|S|-sum|A_i|+sum|A_icap A_j|+...+(-1)^n|A_1cap A_2cap ...cap A_n| $$

 

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假定同时有 $i$ 个不同性质的元素组成的集合大小都相同，设为$g(i)$
$$g(i)=|underbrace{A_{a_1}cap A_{a_2}cap...cap A_{a_i}}_{i}|$$

特别的，$g(0)=|S|$

则
$$|overline{A_1}cap overline{A_2}cap...cap overline{A_n} |=g(0)-g(1)+g(2)+...+(-1)^ng(n)$$
$$=sumlimits_{i=1}^{n}(-1)^iinom{n}{i}g(i)$$

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设$f(i)$表示不具有前 $i$ 个性质的元素组成的集合大小
$$f(i)=|overline{A_1}cap overline{A_2}cap...cap overline{A_i}|$$

特别的，$f(0)=|S|$

则
$$f(n)=sumlimits_{i=1}^{n}(-1)^iinom{n}{i}g(i)$$

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另一方面，根据容斥原理还可得

$$|A_1cap A_2cap...cap A_n |=|S|-sum|overline{A_i}|+sum|overline{A_i}cap overline{A_j}|+...+(-1)^n|overline{A_1}cap overline{A_2}cap ...cap overline{A_n}| $$
$$=f(0)-f(1)+f(2)+...+(-1)^nf(n)$$
$$=sumlimits_{i=1}^{n}(-1)^iinom{n}{i}f(i)$$

 

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则
$$g(n)=sumlimits_{i=1}^{n}(-1)^iinom{n}{i}f(i)$$

 

得证 .

 

 

对于二项式反演的第二种形式

 

同样的，假定含 $i$ 种不同的性质，不含其它 $n-i$ 种性质的 $S$ 中元素组成的集合的大小都相等，设为 $g(i)$
$$g(i)=|overline{A_{a_1}}cap ...capoverline{A_{a_i}}cap A_{a_{i+1}}cap...cap A_{a_n}|$$

 

$f(i)$则表示含有 $i$ 种不同性质，其它性质可有可无的元素组成的集合的大小

 

同理可证得结论