锯木厂选址

Posted 2020-11-28 syzf2222

这是我斜率DP第一个没有一遍AC的，原因是第一遍忘开long long了。

这一题比较特殊，细心的同学一定发现了，递推式不带f。

为了方便，设d数组的后缀和为sd[i]=sd[i+1]+d[i],设k数组的前缀和为sk[i]=sk[i-1]+k[i](k[i]即是题目中的w[i])

设f[i]为第二个锯木厂选在i时的最小值，假设第一个锯木厂在j，从1~j-1运到j的和是k[p]*(sd[p]-sd[j]),p∈[1,n]，从j+1~i-1运到i的和是k[p]*(sd[p]-sd[i]),p∈[j+1,i]。

从i+1~n运到第三个锯木厂的和是k[p]*sd[p],p∈[i+1,n]。设k[p]*sd[p]的和为sum。

那么整理一下此式为：f[i]=sum-sd[j]*sk[j]-sd[i]*sd[k]+sd[i]*sk[j]，惊奇的发现不需要递推，可惜没有什么用。

整理成一次函数式：sd[j]*sk[j]=sd[i]*sk[j]+sum-f[i]-sd[i]*sk[i]

要让截距最大，且斜率sd[i]单调递减，那么考虑维护上凸包（不明白的一定要自己画图尝试！！）

看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=50000;
int n,d[maxn],sd[maxn],sum,sk[maxn],k[maxn];
int q[maxn],f[maxn];
int yval(int a,int b){return sd[b]*sk[b]-sd[a]*sk[a];}
int xval(int a,int b){return sk[b]-sk[a];}
signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&k[i],&d[i]);
        sk[i]=sk[i-1]+k[i];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
        sd[i]=sd[i+1]+d[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum+=k[i]*sd[i];
    int l=1,r=1,ans=2147483647;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(l<r&&yval(q[l],q[l+1])>=xval(q[l],q[l+1])*sd[i])l++;
        f[i]=sd[i]*sk[q[l]]-sd[q[l]]*sk[q[l]]+sum-sd[i]*sk[i];
        while(l<r&&yval(q[r-1],q[r])*xval(q[r],i)<=xval(q[r-1],q[r])*yval(q[r],i))r--;
        q[++r]=i;
        ans=min(ans,f[i]);
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}