SEERC 2019 F. Game on a Tree

Posted 2020-11-28 embiid

题意：

给一棵树，先手可以任意选一个点染色，接下来每个人可以将当前点的一个祖先或一个孩子染色，一个点只能被染色一次，谁无点可以染色谁就输了。

解法

对于一个点，可以到达的点有所有祖先和所有孩子。如果u可以到达v节点，那么v节点显然也可以到达u节点。
此时我们可以考虑将树上博弈转化成图。n个节点，每个点与可到达的节点连边，就会形成一张图。
手玩几个例子，大概可以发现当最大匹配是完美匹配的时候后手必胜，否则先手必胜。下面给出证明。

1.最大匹配是完美匹配时，后手必胜。

因为完美匹配，所以n个点必可以分成n/2组,((v_1,v_2),(v_3,v_4)...(v_{n-1},v_n))，那么先手每选一个点，后手就选与之同组的一个点。那么先手必将在某一步无路可走。后手必胜。

2.最大匹配不是完美匹配时，先手必胜。

设最大匹配(E={(v_1,v_2),(v_3,v_4)...(v_{k-1},v_k)})。那么先手选一个不在匹配内的点，会发生以下两种情况：
(1)后手选择匹配内的点。
此时先手如同1进行操作就可以必胜。因为如果后手在某一轮选择一个匹配外的点，例如在(v_4)后选择一个匹配外的点，我们就会发现((v_a,v_1),(v_2,v_3)(v_4,v_b))是可达的，那么({(v_a,v_1),(v_2,v_3)(v_4,v_b)...(v_{k-1},v_k)})就是一个更大的匹配，与假设不符。所以后手无法再次选择匹配外的点，游戏如1进行，先手此时必胜。
(2)后手也选择匹配外的点。
那么很显然，((v_a,v_b))是可达的，可以加入最大匹配，与假设不符。不可能。
所以，最大匹配不是完美匹配时，先手必胜。

于是，题目就转换成了求由这棵树构成的图是否具有完美匹配。树DP即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5;
int f[maxn + 11];
vector <int> edge[maxn + 11];

void dfs(int x,int fa) {
	for (auto v : edge[x]) {
		if (v == fa) continue;
		dfs(v , x);
		f[x] += f[v];
	}
	if (f[x]) f[x] -= 1;
	else f[x] = 1;
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int u,v;
		scanf("%d %d",&u,&v);
		edge[u].push_back(v);
		edge[v].push_back(u);
	}
	dfs(1 , 0);
	if (!f[1]) printf("Bob
"); else printf("Alice
");
}