详解约瑟夫环问题

Posted 2020-11-28 rane

约瑟夫问题：n个人围坐成一圈，从1开始顺序编号；游戏开始，从第一个人开始由1到m循环报数，

报到m的人退出圈外，问最后剩下的那个人原来的序号。

 

问题分析：面对这样循环报数的数据，我们最容易想到的就是用数组进行报数的模拟，最后把存活的人的编号输出。

先贴上这种思路的代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<vector>
 5 #include<algorithm>　　// find() 函数
 6 
 7 int main(){
 8     int m,n;
 9     cin>>n>>m;
10     vector<bool> s(n, 1);
11     int dead(0), cnt(0);
12     auto it=s.begin();
13     while(dead < n-1){
14         if(it == s.end())   it = s.begin();
15         if(*it) cnt++;
16         if(cnt == m){
17             *it = 0;
18             cnt = 0;
19             dead++;
20         }
21         it++;
22     }23     it=find(s.begin(), s.end(), 1);
24     cout<<it-s.begin()+1;
25     return 0;
26 }

 

代码思路是采用 vector<bool> 容器来存储每一个人的存在状态，如果在圈内参与报数，则值为1，退出圈后为0 。dead 是退出圈不参与报数的人数，作为报数停止的条件，即当 dead == n-1 时，报数停止。cnt 是每一个人报的数，当 cnt == m 时，报该数的人退出圈不再参与报数，在vector数组中的位置变为 0。

第十行，使用vector的迭代器来表示报数成员所对应的下标，while循环中即报数的模拟过程。

第十四行，因为迭代器运行过程中，可能指向 s.end() ，这一位置并不在vector 内，且没有有意义的数据，于是把迭代器重新指向 s.begin() ，这一过程解决了环形报数中第一个人和最后一个人连接的问题。

第十五行，表示报数过程，vector 数组中，此成员参与报数的话，cnt++ ，模拟报数的进行。

第十六行开始，遇到报到 m 的人，vector 中所对应的数据变为0，dead++ ，表示不再参与报数。cnt 置 0 ，表示所报数字重新从1开始（为什么不让cnt=0：因为下一个人出现时，才会自增1）。

第二十三行，得到最后那个人的迭代器指向。由于 vector 迭代器是随机访问迭代器，支持加减运算，所以刚才得到的迭代器指向减去 s.begin() ，就是最后留下的人所对应的下标（为什么不是他的原序号：因为下标从 0 开始计数），该结果再加一就是最后留下的人的原序号。

 

模拟的效率似乎不是很高，而且代码量也不算少，那有什么简单的办法呢？

先贴代码：

　　递归调用：

#include<iostream>
#include<cstdio>
int joseph(int n, int m){
    return n==1 ? 0 : (joseph(n-1, m)+m)%n;
}
int main(){
    int m,n;
    cin>>n>>m;
    cout<<joseph(n, m) +1;
    return 0;
}

 待续...