平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)数据结构和区别

Posted mrxiab

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)数据结构和区别相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

平衡二叉搜索树(Balanced Binary Search Tree)

经典常见的自平衡的二叉搜索树(Self-balancing Binary Search Tree)有

① AVL树 :Windows NT 内核中广泛使用

② 红黑树:C++ STL(比如 map、set )Java  TreeMap、TreeSetHashMap、HashSet  Linux 的进程调度  Ngix  timer 管理

 

AVL树  vs  红黑树

①AVL树 平衡标准比较严格:每个左右子树的高度差不超过1

  最大高度是 1.44  ∗  log2  n + 2 − 1.328100W个节点AVL树最大树高28)

  搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度,其中添加仅需 O(1) 次旋转调整、删除最多需要 O(logn) 次旋转调整

红黑树 平衡标准比较宽松:没有一条路径会大于其他路径的2倍

  最大高度是 2 ∗ log2(n + 1)( 100W个节点,红黑树最大树高40)

  搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度,其中添加、删除都仅需 O(1) 次旋转调整

? 搜索的次数远远大于插入和删除,选择AVL树;搜索、插入、删除次数几乎差不多,选择红黑树

? 相对于AVL树来说,红黑树牺牲了部分平衡性以换取插入/删除操作时少量的旋转操作,整体来说性能要优于AVL树

? 红黑树的平均统计性能优于AVL树,实际应用中更多选择使用红黑树

 

2 AVL和红黑树各自数据结构

 2.1 AVL树

 平衡因子(Balance Factor):某结点的左右子树的高度差

 AVL树的特点:

 1) 每个节点的平衡因子只可能是 1、0、-1(绝对值 ≤ 1,如果超过 1,称之为“失衡”)

 2) 每个节点的左右子树高度差不超过 1

 3) 搜索、添加、删除的时间复杂度是 O(logn)

技术图片

 

    2.1.1 添加导致的失衡

    ? 示例:往下面这棵子树中添加 13

    ? 最坏情况:可能会导致所有祖先节点都失衡

    ? 父节点、非祖先节点,都不可能失衡

    技术图片

    ①LL – 右旋转(单旋)

    技术图片

    ②RR – 左旋转(单旋)

    技术图片

 

    ③LR – RR左旋转,LL右旋转(双旋)

    技术图片

 

    ④RL – LL右旋转,RR左旋转(双旋)

    技术图片 

    2.1.2 删除导致的失衡

    ? 示例:删除子树中的 16

    ? 可能会导致父节点或祖先节点失衡(只有1个节点会失衡),其他节点,都不可能失衡

    技术图片

LL – 右旋转(单旋)

? 如果绿色节点不存在,更高层的祖先节点可能也会失衡,需要再次恢复平衡,然后又可能导致更高层的祖先节点失衡...

极端情况下,所有祖先节点都需要进行恢复平衡的操作,共 O(logn) 次调整

技术图片

② RR – 左旋转(单旋)

技术图片

LR – RR左旋转,LL右旋转(双旋)

技术图片

RL – LL右旋转,RR左旋转(双旋)

技术图片

 

2.1.2 AVL树的总结:

① 添加

可能会导致所有祖先节点都失衡

只要让高度最低的失衡节点恢复平衡,整棵树就恢复平衡【仅需 O(1) 次调整】

② 删除

可能会导致父节点或祖先节点失衡(只有1个节点会失衡)

恢复平衡后,可能会导致更高层的祖先节点失衡【最多需要 O(logn) 次调整】

平均时间复杂度

搜索:O(logn)

添加:O(logn),仅需 O(1) 次的旋转操作

删除:O(logn),最多需要 O(logn) 次的旋转操作

2.2 红黑树

 也叫做平衡二叉B树(Symmetric Binary

技术图片

? 红黑树必须满足以下 5 条性质

1. 节点是 RED 或者 BLACK

2. 根节点是 BLACK

3. 叶子节点(外部节点,空节点)都是 BLACK

4. RED 节点的子节点都是 BLACK

  ① RED 节点的 parent 都是 BLACK

  ② 从根节点到叶子节点的所有路径上不能有 2 个连续的 RED 节点

5.从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的BLACK 节点

2.2.1 红黑树和4阶B树(2-3-4树)具有等价性

技术图片技术图片

BLACK 节点与它的 RED 子节点融合在一起,形成1个B树节点

? 红黑树的 BLACK 节点个数 与 4阶B树的节点总个数 相等

? 网上有些教程:用 2-3树 与 红黑树 进行类比,这是极其不严谨的,2-3树 并不能完美匹配 红黑树 的所有情况

? 注意:因为PPT界面空间有限,后面展示的红黑树都会省略 NULL 节点

2.2.2 添加导致的失衡

2.2.3 删除导致的失衡

2.2.4 红黑树性质总结

最初遗留的困惑:为何那5条性质,就能保证红黑树是平衡的?

5条性质,可以保证 红黑树 等价于 4阶B树 

? 相比AVL树,红黑树的平衡标准比较宽松:没有一条路径会大于其他路径的2倍

? 是一种弱平衡、黑高度平衡

红黑树的最大高度是 2 ∗ log2(n + 1) ,依然是 O(logn) 级别

? 搜索O(logn)

添加:O(logn),O(1) 次的旋转操作

删除:O(logn),O(1) 次的旋转操作

 

以上是关于平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)数据结构和区别的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数据结构~基础2~树《二叉树二叉搜索树AVL树B树红黑树》的设计~高度平衡二叉树AVL树

AVL平衡二叉树,红黑树原理

红黑树原理AVL树区别

红黑树与AVL(平衡二叉树)的区别

解密树的平衡:二分搜索树 → AVL自平衡树 → 红黑树

平衡二叉树(AVL)与红黑树