平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)数据结构和区别
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)数据结构和区别相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
经典常见的自平衡的二叉搜索树(Self-balancing Binary Search Tree)有
① AVL树 :Windows NT 内核中广泛使用
② 红黑树:C++ STL(比如 map、set )Java 的 TreeMap、TreeSet、HashMap、HashSet Linux 的进程调度 Ngix 的 timer 管理
1 AVL树 vs 红黑树
①AVL树 平衡标准比较严格:每个左右子树的高度差不超过1
最大高度是 1.44 ∗ log2 n + 2 − 1.328(100W个节点,AVL树最大树高28)
搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度,其中添加仅需 O(1) 次旋转调整、删除最多需要 O(logn) 次旋转调整
② 红黑树 平衡标准比较宽松:没有一条路径会大于其他路径的2倍
最大高度是 2 ∗ log2(n + 1)( 100W个节点,红黑树最大树高40)
搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度,其中添加、删除都仅需 O(1) 次旋转调整
? 搜索的次数远远大于插入和删除,选择AVL树;搜索、插入、删除次数几乎差不多,选择红黑树
? 相对于AVL树来说,红黑树牺牲了部分平衡性以换取插入/删除操作时少量的旋转操作,整体来说性能要优于AVL树
? 红黑树的平均统计性能优于AVL树,实际应用中更多选择使用红黑树
2 AVL和红黑树各自数据结构
2.1 AVL树
平衡因子(Balance Factor):某结点的左右子树的高度差
AVL树的特点:
1) 每个节点的平衡因子只可能是 1、0、-1(绝对值 ≤ 1,如果超过 1,称之为“失衡”)
2) 每个节点的左右子树高度差不超过 1
3) 搜索、添加、删除的时间复杂度是 O(logn)
2.1.1 添加导致的失衡
? 示例:往下面这棵子树中添加 13
? 最坏情况:可能会导致所有祖先节点都失衡
? 父节点、非祖先节点,都不可能失衡
①LL – 右旋转(单旋)
②RR – 左旋转(单旋)
③LR – RR左旋转,LL右旋转(双旋)
④RL – LL右旋转,RR左旋转(双旋)
2.1.2 删除导致的失衡
? 示例:删除子树中的 16
? 可能会导致父节点或祖先节点失衡(只有1个节点会失衡),其他节点,都不可能失衡
①LL – 右旋转(单旋)
? 如果绿色节点不存在,更高层的祖先节点可能也会失衡,需要再次恢复平衡,然后又可能导致更高层的祖先节点失衡...
? 极端情况下,所有祖先节点都需要进行恢复平衡的操作,共 O(logn) 次调整
② RR – 左旋转(单旋)
③LR – RR左旋转,LL右旋转(双旋)
④RL – LL右旋转,RR左旋转(双旋)
2.1.2 AVL树的总结:
① 添加
可能会导致所有祖先节点都失衡
只要让高度最低的失衡节点恢复平衡,整棵树就恢复平衡【仅需 O(1) 次调整】
② 删除
可能会导致父节点或祖先节点失衡(只有1个节点会失衡)
恢复平衡后,可能会导致更高层的祖先节点失衡【最多需要 O(logn) 次调整】
平均时间复杂度
搜索:O(logn)
添加:O(logn),仅需 O(1) 次的旋转操作
删除:O(logn),最多需要 O(logn) 次的旋转操作
2.2 红黑树
也叫做平衡二叉B树(Symmetric Binary
? 红黑树必须满足以下 5 条性质
1. 节点是 RED 或者 BLACK
2. 根节点是 BLACK
3. 叶子节点(外部节点,空节点)都是 BLACK
4. RED 节点的子节点都是 BLACK
① RED 节点的 parent 都是 BLACK
② 从根节点到叶子节点的所有路径上不能有 2 个连续的 RED 节点
5.从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的BLACK 节点
2.2.1 红黑树和4阶B树(2-3-4树)具有等价性
? BLACK 节点与它的 RED 子节点融合在一起,形成1个B树节点
? 红黑树的 BLACK 节点个数 与 4阶B树的节点总个数 相等
? 网上有些教程:用 2-3树 与 红黑树 进行类比,这是极其不严谨的,2-3树 并不能完美匹配 红黑树 的所有情况
? 注意:因为PPT界面空间有限,后面展示的红黑树都会省略 NULL 节点
2.2.2 添加导致的失衡
2.2.3 删除导致的失衡
2.2.4 红黑树性质总结
最初遗留的困惑:为何那5条性质,就能保证红黑树是平衡的?
p 那5条性质,可以保证 红黑树 等价于 4阶B树
? 相比AVL树,红黑树的平衡标准比较宽松:没有一条路径会大于其他路径的2倍
? 是一种弱平衡、黑高度平衡
? 红黑树的最大高度是 2 ∗ log2(n + 1) ,依然是 O(logn) 级别
? 搜索:O(logn)
? 添加:O(logn),O(1) 次的旋转操作
? 删除:O(logn),O(1) 次的旋转操作
以上是关于平衡二叉搜索树(AVL树,红黑树)数据结构和区别的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章