汉明码

Posted 2020-11-28 bomily0212

例：计算原始信息位为0110101按配偶原则配置对应的海明校验码？(奇校验的话校验位是组内所有数异或的非)

1、确认需要的校验位数
海明校验码有个公式：2^r -1 >= k + r

因为题目信息位为7位，所以r = 4.

2、校验码所插入位置
海明校验码是放在2的幂次位上的，即“1,2,4,8,16,32······”；并不是像CRC样全求出余数然后放在低位。

错误的插入：

位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
数据      1     0 1 0    1  1  0
 

正确的插入：

位置

       1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
数据      0    1 1 0    1  0   1
 

很容易看出一种是从右往左插入，另一种是从左往右。

注：空白部分为校验位位置

确认数据位由那几个校验位校正

 通过这个图可以看出每个校验码校验了那几个位置。

P1：3，5，7，9，11

P2：3，6，7，10，11

P3：5，6，7

P4：9，10，11

P1：0+1+0+1+1，如果海明校验码采用偶校验，则P1为1，奇校验为取非为0

P2：0+1+0+0+1，偶校验，则P2为0，奇校验为1

P3：1+1+0，偶校验，则P3为0，奇校验为1

P4：1+0+1，偶校验，则P4为0，奇校验为1

将校验位添加入表中既为对应的海明校验码。

位置

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
数据 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1
这里我用的是偶校验，所以结果为：10001100101

 

首先要知道“奇偶校验”这个东西。这个东西很简单。

我们约定一串编码里1的个数是偶数个，那么这串编码里携带的信息就是对的，否则就是错的。

我们可以在开头对这串编码加一位校验码实现奇偶校验。

for example：

我们想传输10010这串码，那么在传输的时候，就传010010，其中在开头的0就是校验位。

我们想传输10000这串码，那么在传输的时候，就传110000，其中在开头的1就是校验位。

两个例子的1的个数都是偶数。

 

 

 

首先汉明码是采用奇偶校验的码。它采用了一种非常巧妙的方式，把这串数字分了组，通过分组校验来确定哪一位出现了错误。

第一个问题，检错原理。
它的原理可以通过一个例子来说明。

因为在传输过程中，最最最可能的是只错一位数据，所以，

汉明码默认一串数据只错一位
我们假设想传这一列数据1234567，我们先把他们分个组（当然怎么分组的我们等会儿再讨论），如图。

P1组：1,2,3,4

P2组：2,4,5,7
P3组：3,4,6,7

 

只错一个数据。
比如，这次的情况是，P1组中有一个错了，P2组没错，P3组没错。

嗯，好，现在我们看图，我们看，

P2组里谁都没错，可以排除2,4,5,7这几个数据；

P3组里谁都没错，可以排除3,4,6,7这几个数据；

那么P1组里我们知道是有错的，那经过P2，P3组的对数据的排除，我们很容易知道，是1这个数据有了错误。

 

好，那么错一个组的情况我们讨论过了，那么错两组的情况呢？

假设P1中有个错了，P2中有个错了，P3全对了

好，同时属于P1和P2而且不属于P3的数据是哪个？对，看图，是2这个数据。

 

好，那么三个组的情况呢？

同时属于P1、P2、P3组的数据是谁呢？对，是4这个数据。

 

好，这种分组，这种方式是不是很爽呢？汉明码就是利用了这种分组，这样它就可以很简单地分辨出哪一个数据出错，这种可以检测出数据出错的能力叫做“检错”，一定要和“纠错”分开，检错只能检测到错误不一定能改过来错误，纠错是可以的。

 

 

 

 

下一个问题，校验码的位置。
这是规定，记住它，在采用汉明码的一串数据中，2的i次方的位置上，我们放校验码。

校验码是1，或者是0，使得校验码所在的组的1的个数是偶数。

如图：

绿色的位置是放校验码的地方，1,2,4,8,16……等等，2的i次方的地方。

 

 
 
 
下一个问题，汉明码是怎么分组的呢？
我们看到，其实有些数据是既在P1组又在P2组的。

怎么分组，这个要记住，没啥原理了哈哈。

要预先做的工作是，

把表示位置的这个数，转化成二进制数。

也就是，

第1个位置，变成第0001个位置；

第2个位置，变成第0010个位置；

第3个位置，变成第0011个位置；

第4个位置，变成第0100个位置；

第5个位置，变成第0101个位置；

第6个位置，变成第0110个位置；

 

那么，规定来了，

凡是位置符合这种形式的，XXX1，归到P1；

凡是位置符合这种形式的，XX1X，归到P2；

凡是位置符合这种形式的，X1XX，归到P3；

凡是位置符合这种形式的，1XXX，归到P4；

那么显然各个校验码也被分到各个组里面去了，而且，每个组只有一个校验码。（这个，太简单我就不解释了……）

那么组分好了，校验码的值也就确定下来了。（数组内有多少个1就可以了）

 

好，为了防止你不明白，我举个例子哈。

我们想传这一组码：XX1X101X011

一共11位。

标X的是校验码的位置，我们暂时不知道它的值是多少。

位置在1,3,5,7,9,11的数据进到P1组。（你转换一下这些位置的二进制，就知道他们的位置符合XXX1）

位置在2,3,6,7,10,11的数据进到P2组。（位置符合XX1X）

位置在4,5,6,7的数据进到P3组。（位置符合X1XX）

位置在8,9,10,11的数据进到P4组。（位置符合1XXX）

那么确定了分组，校验码的值也就顺便确定下来了。

这样整个串的码就确定下来了。

 

现在知道汉明码是怎么分组的了吗？对，通过位置数的性质。

 

 

好，下两个问题。

从发送者的角度，我该怎么发用上汉明码的数据呢？
首先我们考虑我们到底要发多少位。假设校验码一共k位，我们想发的原始数据一共n位，要注意我们的校验码也要校验校验码错没错，所以，要校验的一共有k+n位，k位校验码可以检测2^k位的码，但是不能所以，校验码的位数要满足这个公式

2^k>k+n,或者说2^k-1>=k+n。

这样我们就能算出来要用多少校验码了。

其实哈，实际上不用这么麻烦，教科书总是那么复杂。假设你想发101011111，那你就先占下校验位，然后空着的位填你想发的数据就好。

占下1,2,4,8……等等位，看能占下多少位就可以，当然这个手算比较直观啦哈。

好，我假设你填完了，然后分好组，也确定了校验位的值了，那么发送出去啦~

嘟嘟嘟~~~~~~~

 

 

我是接收者，我收到了一串汉明码，怎样用汉明码的性质来检错呢？
1.分组，分好P1，P2，P3……

2.分别对每个组校验，没有错的给它0，有错的给0.

3.记得第一个问题，汉明码的原理吗？你可能会想，3个组，我们可以画3个圈，可是100个组，这个圈可就太难画了啊！

这里有一个等价的方法，hamming真的太聪明了。

把P从大到小排列起来，得到一串1010，

for example:

         组别：        P5   P4   P3   P2   P1

         标志：         1      0      1     0     1

从大到小排列起来，标志排成了一串一零串。这个数就是出错的数据的位置。
本例中，10101位置上的位错了，换成十进制是第21个位置上的数错了。

然后，我们发现了它错误的位置，又因为它是二进制的，不是0就是1，所以，可以顺便把它纠错。