qbzt网格图路径问题——题解

Posted 2020-11-27 inductivesorting-qyf

题目内容：

　　给定一个长n高2的网格图，如下图：

　　

 

 

有三种操作：

　　　　1、删除一条边

　　　　2、将一条删除的边再加回来

　　　　3、询问从一个点到另一个点的不同路径数（不可经过重复边）

算法复杂度要求不能大于 n log n

（由于只有题面，没有输入格式和数据，所以在此只讲一下思路）

　　　　正解是用线段树维护。

先给网格图标上号：

　　

 

 

 对于线段树上的节点，若它维护的区间为[l,r]，则它就对应一个l~r的网格图G：

 

 

 a1、a2、a3、a4分别代表G的左上、右上、左下、右下方的点。同时有布尔变量b1~b6 ，bi表示ai连向外面图部分边的有（1）无（0）（i<=4），b5表示a1-a3这条边的有无，b6表示a2-a4这条边的有无。

有6变量c1~c6，表示在图G中：

　　c1：从a1到a2的不同路径数

　　c2：从a1到a4的不同路径数

　　c3：从a3到a2的不同路径数

　　c4：从a3到a4的不同路径数

　　c5：从a1到a3的不同路径数

　　c6：从a2到a4的不同路径数

　　c7：是否有一条只走上部分边的路径可由a1到达a2

　　c8：是否有一条只走上部分边的路径可由a3到达a4

　　

　　当G的大小为1*2时，此时a1a2重合，a3a4重合，各个变量的值很容易得出，故线段树的叶子结点有初始值。

 

　　考虑线段树合并区间向上求的操作：

假设要将区间[l,mid]（左）[mid+1,r]（右）合并成[l,r]（新），对节点的变量一次考虑：

1、对于b：

　　显然，新b1=左b1，新b2=左b2，新b3=右b3，新b4=右b4，新b5=左b5，新b6=右b6

2、对于c，要仔细考虑一下：

 

 

 为了便于叙述，将新G的几条关键边的位置记为e1~e4。

对于新c7，新c8，一眼就能看出来怎么维护，故不多说。

 

对于新c1，路径的形式要么为左a1——左a4——e3——右a3——右a4，得新c1=左c1*右c4*左b4；

　　要么为左a1——左a2——e1——右a1——右a4，得新c1=左c2*右c1*左b2。

　　故新c1=左c2*右c1*左b2+左c1*右c4*左b4。

对于c2~c4，可同理分析。

 

对于c5，有两种情况：

　　一是路径的所有边都在左图，那么新c5=左c5；

　　二是有路径的边出现在右图，那么此时一定会经过e1和e3，又因为要保证路径的边不重复，所以有新c5=左c7*左b2*右c5*左b4*左c8

　　所以新c5=左c7*左b2*右c5*左b4*左c8+左c5

对于c6，可同理分析。

 

接下来再考虑如何得到答案。

对于询问的两个点u,v，可以先得到他们对应的区间[l,r]

 

 

 首先想到的就是在线段树中找到[l,r]的答案。但这是不全的，因为线段树中得到的区间[l,r]的答案中的所有路径都是在图[l,r]内部的，但答案还有路径“出图的情况”，如下图：

 

 

 

其实这个也很好办，因为整个图的高只有2，所以"出图”无非只有两种情况：从左边出（即为上图），从右边出。

　　以从左边出为例：

　　显然要满足[l,r]对应的b1和b3都等于1，即要有能出图的一对边，这时很容易就想到答案为[1,l-1]的c6*b2*b4。

　　从右边出同理。

最后这道题就解出来了。其实只要能弄明白线段树的维护信息，这道题就迎刃而解。这些维护信息，多半是由需求而生的。其实说实话，在写这篇题解时，有很多变量也是我在需求下想到的。