[题解] 铺路

Posted 2020-11-27 riverhamster

做法

结论

如果图的所有连通块的点数都是偶数，则可以选出一个生成子图，满足点的度数均为奇数。

首先因为度数和是偶数，所以如果每个点的度数是奇数，点数一定是偶数。

然后在一个偶数连通块内任选一个有根生成树，自下而上地对于度数为偶数的点删去它与父亲的连边。注意到度数和是偶数，而除根之外的所有点度数都被调成了奇数，所以根的度数也是奇数。这样就可以构造出方案。

维护

如果是静态，可以将边排序后一次加入并查集，维护连通块的 (size)，也可以二分答案。

对于动态的情况，可以写 LCT 维护子树的 (size)，如果加入的边和原有的边冲突，就删掉最大的。这是个好做法，但不会写 LCT，扔了，复杂度 (mathcal O(m log n))。

答案是单调不增的（记 (-1) 为 (+infty)），考虑分治。设当前要求解答案的区间为 ([l, r])，答案的范围是 ([low, high])

先求解中心 (mid) 处的答案 (res_{mid})，然后分治到 (solve(l, mid - 1, res_{mid}, high), solve(mid + 1, r, low, res_{mid})) 两块求解。

记每条边两个属性，(p, w)，(p) 是位置， (w) 是权值，画在坐标系上，则每次的分治区间就是一个矩形。

(solve(l, r, low, high)) 时，(p < l, w < low) 的已经在并查集中。

先加入 (p in [l, mid]) 的边，然后依次加入 (p in [1, mid], w ge low) 的边，这里做法是 (p in [l, mid]) 排序，(p < l) 用一个 std::set 维护。

求解出 (mid) 处的答案后，分治即可，注意分治前要始终保证 ((l, low)) 左下角的边已经被加入并查集。每次加入完后，要撤销并查集操作。

复杂度

对于加入 ([l, mid]) 内的边，容易分析其复杂度为 (mathcal O(m log m log n))，并查集不能路径压缩，复杂度 (mathcal O(log n))

对于从 std::set 中加入的边（即每次 (p < mid, w in [low, res_{mid}]) 的边）：分开考虑每条边插入的次数。从第一次加入它的极大分治区间开始考虑（只会有一个），则它分治下去的两个区间中只会有一个有可能插入这条边，因此一条边最多插入 (mathcal O(log m)) 次。

所以貌似整体二分复杂度也是对的，可能常数还小一些

总复杂度 (mathcal O(n log m log n))

Code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
#define File(s) freopen(s".in", "r", stdin), freopen(s".out", "w", stdout)
typedef long long ll;
namespace io {
	const int SIZE = (1 << 21) + 1;
	char ibuf[SIZE], *iS, *iT, obuf[SIZE], *oS = obuf, *oT = oS + SIZE - 1, c, qu[55]; int f, qr;
	#define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = ibuf) + fread (ibuf, 1, SIZE, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++)
	char getc () {return gc();}
	inline void flush () {fwrite (obuf, 1, oS - obuf, stdout); oS = obuf;}
	inline void putc (char x) {*oS ++ = x; if (oS == oT) flush ();}
	template <class I> inline void gi (I &x) {for (f = 1, c = gc(); c < ‘0‘ || c > ‘9‘; c = gc()) if (c == ‘-‘) f = -1;for (x = 0; c <= ‘9‘ && c >= ‘0‘; c = gc()) x = x * 10 + (c & 15); x *= f;}
	template <class I> inline void print (I x) {if (!x) putc (‘0‘); if (x < 0) putc (‘-‘), x = -x;while (x) qu[++ qr] = x % 10 + ‘0‘,  x /= 10;while (qr) putc (qu[qr --]);}
	struct Flusher_ {~Flusher_(){flush();}}io_flusher_;
}
using io :: gi; using io :: putc; using io :: print; using io :: getc;
template<class T> void upmax(T &x, T y){x = x>y ? x : y;}
template<class T> void upmin(T &x, T y){x = x<y ? x : y;}

const int N = 300005, lgN = 20;

int fa[N], rk[N], sz[N], oddc;
int top = 0, stkx[N * lgN], stky[N * lgN], stkrk[N * lgN], stksz[N * lgN], stkodd[N * lgN];
int n, m, wc;

int find(int x){
	for(; x != fa[x]; x = fa[x]) ;
	return x;
}
void merge(int x, int y){
	int fx = find(x), fy = find(y);
	if(fx == fy) return ;
	++top;
	if(rk[fx] < rk[fy]) swap(fx, fy);
	stkx[top] = fx; stky[top] = fy; stkrk[top] = rk[fx];
	stkodd[top] = oddc; stksz[top] = sz[fx];
	fa[fy] = fx; rk[fx] += rk[fx] == rk[fy];
	oddc -= (sz[fx] & 1) + (sz[fy] & 1);
	sz[fx] += sz[fy];
	oddc += sz[fx] & 1;
}
void recover(int bot){
	for(; top != bot; --top){
		fa[stky[top]] = stky[top];
		rk[stkx[top]] = stkrk[top];
		sz[stkx[top]] = stksz[top];
		oddc = stkodd[top];
	}
}

int res[N];
int wt[N];
struct Item{
	int u, v, w;
	Item(){}
	Item(int _u, int _v, int _w) : u(_u), v(_v), w(_w) {}
}a[N];
bool operator<(const Item &p, const Item &q) {
	if(p.w == q.w)
		return p.u == q.u ? p.v < q.v : p.u < q.u;
	return p.w < q.w;
}

set<Item> S;

void solve(int l, int r, int low, int high){
	if(l > r || low == high){
		for(int i=l; i<=r; i++){
			res[i] = low;
			S.insert(a[i]);
		}
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	static Item pt[N]; int pc = 0;
	int bot = top;
	for(int i=l; i<=mid; i++)
		if(a[i].w <= low)
			merge(a[i].u, a[i].v);
		else if(a[i].w <= high)
			pt[pc++] = a[i];
	sort(pt, pt + pc);
	auto lp = S.lower_bound(Item(0, 0, low)), hp = S.upper_bound(Item(1000000000, 1000000000, high));
	const auto Lp = lp;
	int ap = 0;
	res[mid] = oddc ? high : low;
	while(oddc && lp != hp && ap != pc){
		if(lp->w < pt[ap].w){
			res[mid] = lp->w;
			merge(lp->u, lp->v);
			++lp;
		} else {
			res[mid] = pt[ap].w;
			merge(pt[ap].u, pt[ap].v);
			++ap;
		}
	}
	if(oddc){
		while(oddc && lp != hp){
			res[mid] = lp->w;
			merge(lp->u, lp->v);
			++lp;
		}
		while(oddc && ap != pc){
			res[mid] = pt[ap].w;
			merge(pt[ap].u, pt[ap].v);
			++ap;
		}
		if(oddc) res[mid] = wc + 1;
	}

	recover(bot);
	for(auto it = Lp; it != hp && it->w < res[mid]; ++it) merge(it->u, it->v);
	solve(l, mid - 1, res[mid], high);

	recover(bot);
	S.insert(a[mid]);
	for(int i=l; i<=mid; i++)
		if(a[i].w < low)
			merge(a[i].u, a[i].v);
	solve(mid + 1, r, low, res[mid]);
	recover(bot);
}

int main(){
	gi(n); gi(m);

	for(int i=1; i<=n; i++) fa[i] = i, sz[i] = 1;
	oddc = n;

	for(int i=1; i<=m; i++)
		gi(a[i].u), gi(a[i].v), gi(a[i].w), wt[i] = a[i].w;
	sort(wt + 1, wt + 1 + m);
	wc = unique(wt + 1, wt + 1 + m) - wt - 1;
	wt[wc + 1] = -1;
	for(int i=1; i<=m; i++)
		a[i].w = lower_bound(wt + 1, wt + 1 + wc, a[i].w) - wt;

	solve(1, m, 1, m + 1);
	for(int i=1; i<=m; i++)
		print(wt[res[i]]), putc(‘
‘);
	return 0;
}