Tarjan 复习

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Tarjan 复习相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1.dfs 树

技术图片

  • 上图右图是左图以1为起点进行DFS时产生的生成树。
  • 有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边(不一定全部出现):
    1. 树边(tree edge):绿色边,每次搜索找到一个还没有访问过的结点白点)的时候就形成了一条树边。
    2. 返祖边(back edge):黄色边,也被叫做回边,即指向祖先结点(灰点)的边。
    3. 横叉边(cross edge):红色边,它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过黑点dfn[u]>dfn[v])的结点,但是这个结点 并不是 当前结点的祖先时形成的。
    4. 前向边(forward edge):蓝色边,它是在搜索的时候遇到子树中的结点黑点`dfn[u])的时候形成的。
  • 无向图不存在横叉边和前向边。

2.强连通分量

即任意两点间都可达.(实际上为一个环)

Tarjan基于对图的深度优先搜索,并对每个节点引入两个值:

  • dfn[u]:节点u时间戳,记录点uDFS过程中第几个访问的节点。
  • low[u]:记录节点uu的子树不经过搜索树上的边(树边)能够到达的时间戳最小的节点。
  • 初始时,dfn[u]==low[u]
  • 对于每一条与u相连的边<u,v>:
    • 若在搜索树上vu的子节点,即边<u,v>是树枝边,则更新low[u]= min(low[u], low[v])
    • 若 <u,v> 不是搜索树上的边 (即这条边为反祖边), 则更新low[u]= min(low[u], dfn[v])

3.缩点

即把每个环(强连通分量)缩成一个点, 因为在环中任意两点间可达, 所以缩成点后和原来是等效的, 缩点后的点权为环中点权之和. 进行缩点后, 我们可以得到DAG图(或者树), 从而使问题容易解决

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