函数在某点可导与可微~

Posted 2020-11-27 hmy-666

（1）函数在某点可导的定义

 

 大白话解释函数在某点可导：就是有一个以X0为中点，距离X0长度为R的区间内，任取一点X1,X1-X0=X的增量，X的增量可正可负。当增量y/增量X极限存在时，这个函数在X0点可导。

所以你可以想一下，对于函数在某一段内处处可导，那么必然这段线段是光滑的，也就是说没有突变，尖角处即为突变，尖角为不可导。

说明一下，为什么尖角不可导：（只举例向下尖角，同理可以推导出其它方向尖角的情况）

想象一下，如果函数在某处为尖角，那么对于自变量点X0的右边增量为正增量，y增量为正，两者相除为右极限，右极限为正，

对于左极限，自变量点X0的左边增量为负增量，y增量为正，左极限为负。所以左右极限不等，自然在这点没有极限，所以这点自然不可导。

 

（2）函数在某点可微的定义

 

  大白话解释函数在某点可微：就是有一个以X0为中点，距离X0长度为R的区间内，任取一点X1,X1-X0=X的增量，X的增量可正可负。增量y=（常数） 乘以 （X增量）+ （X增量的高阶无穷小），注A是不依赖于X的增量的常数，也就是说A的取值不会因为X的增量改变而有所不同的常数。

 

所以你可以想一下，对于函数在某一段内处处可微，那么必然这段线段是光滑的，也就是说没有突变，尖角处即为突变，尖角为不可微。

 

说明一下，为什么尖角不可微：（只举例向下尖角，同理可以推出其它方向尖角的情况）

对于向下尖角这种情况，首先，X增量在右边为正，左边为负数。y增量为正，要保持y增量为正，那么当X增量为正数时，常数A必须为正；当X增量为负数时，常数A必须为负。

这样一来，常数A就发生了改变，与定义A是不依赖于X的增量的常数相互矛盾，所以尖角不可微。

 

（3）函数在某点的可微与可导的关系

 

 对于非数学专业，这个记住即可，因为如果每个定义都给予证明，我相信，一个人是无法大量使用每一个工具的。

 

证明过程：