中等5-最长回文子串 Longest Palindromic Substring

Posted 2020-11-27 suata

题目

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

Example1

输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba" 也是一个有效答案。

Example2

输入: "cbbd"
输出: "bb"

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.com/problems/longest-palindromic-substring

解法

方法一：中心

解题思路

对于回文字符串查找，暴力破解的方法是把所有子串找出来再排除其中不是回文子串的内容，这个方法明显是很冗余的。这道题的问题在于，一个长字符串中可以有很多回文子串，

我们并不知道最终的目标子串在哪个位置，所以找到了一条局部最长子串之后一定要继续查找确保不会出现更长的子串。如果我们从第一个字符开始逐个向后查找以该字符为起点的最长回文子串，那与暴力破解其实没有什么差别了，因为不做完全的查询和检验是没有办法说明问题的。

但是由于回文字符串具有对称的性质，如果我们从字符串的对称轴也就是最中间的元素作为查询顺序，向其两边排查是否都对称，只要有不对称的元素，我们就可以判定以该字符为中心的局部最长回文字符串是什么，进而找到最终的最长子串了。

需要注意的是，回文字符串的长度可能是奇数也可能是偶数，如果是奇数，就以一个字符为中心，如果是偶数，就以两个相同字符为中心即可。

代码

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        string substring = "";
        int start = 0, end = 0;
        for(int i = 0; i < s.length(); ++i){
            for(int j = 1; j <= i; ++j){ // 以字符i为中心
                if(j+i<s.length() && i-j>=0){
                    if(s[j+i] == s[i-j]){
                        start = i-j;
                        end = j+i;
                    }
                    else{
                        break; // 局部最长已经找到
                    }
                }
            }
            if(end-start+1 > substring.length()) substring = s.substr(start, end-start+1);
            if(i+1<s.length() && s[i] == s[i+1]){ // 以字符i和i+1为中心（两字符相同）
                start = i;
                end = i+1;
                for(int j = 1; j <= i; ++j){
                    if(j+i+1<s.length() && i-j>=0){
                        if(s[j+i+1] == s[i-j]){
                            start = i-j;
                            end = j+i+1;
                        }
                        else{
                            break;
                        }
                    }
                }
                if(end-start+1 > substring.length()) substring = s.substr(start, end-start+1);
            }
        }
        return substring;
    }
};

方法二：动态规划

求解思路

首先分析回文子串的性质可以发现：

1. 长度为1的子串一定是回文子串

2. 对于一个回文子串，去掉其开头和结尾的一个字符，剩下的子串仍旧是回文子串

也就是说，如果一个字符串是回文子串，那么在这个子串两端加上相同的字符，构造出的新的字符串也是回文的，也就是说回文字符串具有可归纳的性质，由此，我们联想到使用动态规划方法，初始状态即为每一个单独的字符都是回文字符串，状态转移方程就是

f[i][j] = f[i+1][j-1] && s[i]==s[j], i<j-1
        = s[i]==s[j], i=j-1

代码

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        if(s.length() < 2) return s;
        string substring = s.substr(0, 1);
        bool dp[s.length()][s.length()];
        for(int i = 0; i < s.length(); ++i){
            dp[i][i] = true;
        }
        for(int i = 1; i < s.length(); ++i){
            for(int j = 0; j < i; ++j){
                if(i-j == 1){
                    if(s[i] == s[j]){
                        dp[j][i] = true;
                        if(substring.length() < 2) substring=s.substr(j,2);
                    }
                    else{
                        dp[j][i] = false;
                    }
                }
                else{
                    if(dp[j+1][i-1] && s[i] == s[j]) {
                        dp[j][i] = true;
                        if(substring.length() < i-j+1) substring=s.substr(j, i-j+1);
                    }
                    else dp[j][i] = false;
                }
                
            }
        }
        return substring;
    }
};

总结

1. 在中心扩展方法中，需要处理字符串奇偶的情况，但是如果在字符中间隔插入一个新符号如#，可以将偶数转化为奇数情况