四边形不等式优化DP

Posted 2020-11-27 loceaner

定义

1.原始定义

假设有一个二元函数(w(x,y))，如果对于任意(a leq b leq c leq d)，有

[w(a, d) + w(b, c) geq w(a, c) + w(b, d) ]

就说函数(w)满足四边形不等式

2.等价定义

还有一个等价的定义：如果对于任意(aleq b)，有：

[w(a, b + 1) + w(a + 1, b) geq w(a, b) + w(a + 1, b + 1) ]

就说函数(w)满足四边形不等式、

证明 2 -> 1

对于任意(a < c)， 有 ((1))式：

[w(a, c + 1) + w(a + 1, c) geq w(a, c) + w(a + 1, c + 1) ]

对于任意(a+1, c)，有((2))式：

[w(a + 1, c + 1) + w(a + 2, c) >= w(a + 1, c) + w(a + 2, c + 1) ]

两式相加得到((3))式：

[w(a, c + 1) + w(a + 2, c) geq w(a, c) + w(a + 2, c + 1) ]

对比((1))式和((3))式，发现(a + 1)可以扩成(a + 2)，同理(a+2)可以扩成(a+3)，(a+3)可以扩成(a+4)……可以一直扩大直至(bleq c)（(b)是在(a)和(c)之间的一个数），从而得到：

[w(a, c + 1) + w(b, c) geq w(a, c) + w(b, c + 1) ]

同理，对于任意(a<c+1)，有((4))式：

[w(a, c + 2) + w(a + 1, c + 1) geq w(a, c + 1) + w(a + 1, c + 2) ]

((1))式与((4))式相加得到((5))式：

[w(a, c + 2) + w(a + 1, c) geq w(a, c) + w(a + 1, c + 2) ]

与((1))式进行一下直观对比：

((1))式：(w(a, c + 1) + w(a + 1, c) geq w(a, c) + w(a + 1, c + 1))

((5))式：(w(a, c + 2) + w(a + 1, c) geq w(a, c) + w(a + 1, c + 2))

可以发现(c+1)可以扩成(c+2)，同理(c+2)可以扩成(c+3)，(c+3)可以扩成(c+4)……可以一直扩大一直到(d(cleq d))，从而得到：

[w(a,d) + w(a + 1, c) geq w(a, c) + w(a + 1, d) ]

再把上式(a+1)扩大到(b)，保证(aleq b leq c leq d)，就可以得到(1)，即

(w(a,d) + w(b, c) geq w(a, c) + w(b, d))

由此原始定义得证。

所以，证了这么久有啥用呢？

决策单调性

我们在做(DP)时经常会遇见这样的(DP)方程

[dp[i] = min/max{dp[j] + cost(j, i)} ]

这样的(DP)方程被称作(1D/1D)动态规划，(cost(i,j))决定着优化策略选择

决策单调性定理

如果函数(cost(i,j))满足四边形不等式，则(dp[i])有决策单调性（充分条件）

证明：

注：假设此时已经满足四边形不等式

假设此时的(DP)方程为(dp[i] = min/{dp[j] + cost(j, i)})，(dp[i])的决策点是(p[i])，对于(j < p[i] - 1(j < i))，根据最优性：

[dp[p[i]] + cost(p[i], i) leq dp[j] + cost(j, i) ]

假设(i‘ > i)，此时(j leq p[i] leq i leq i‘)，根据四边形不等式：

[cost(j, i‘) + cost(p[i], i) geq cost(j, i) + cost(p[i], i‘) ]

对这个式子进行移项，得到

[cost(p[i], i‘) - cost(p[i], i) leq cost(j, i‘) - cost(j, i) ]

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gu gu gu

明天继续