P4139 上帝与集合的正确用法

Posted 2020-11-27 suxxsfe

P4139 上帝与集合的正确用法

求：

[2^{2^{2^cdots}}mod p ]

多测，(ple 10^7,Tle 1000)

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扩展欧拉定理基础题，话说昨天晚上证那个定理证了一晚上还没完全弄明白。。。

众所周知，那个公式是：

[a^nequiv a^{nmod varphi(p)+varphi(p)}pmod p ]

然后带到这个题的式子里

[2^{2^{2^cdots}}equiv 2^{2^{2^cdots}mod varphi(p)+varphi(p)}pmod p ]

然后，其中这个指数的(2^{2^cdots}mod varphi(p))部分，和一开始那个要求的式子形式相同，可以递归地求解，然后在递归的过程中模数不断变小
直到(p=1)，那么此时答案必为(0)，结束递归

然后预处理(varphi)就行

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) y=0;c=std::getchar();}
	while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
LL phi[10000006];
int prime[1000006],notprime[10000006];
inline void get_phi(){
	int n=1e7;
	phi[1]=1;
	for(reg int i=2;i<=n;i++){
		if(!notprime[i]) prime[++prime[0]]=i,phi[i]=i-1;
		for(reg int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++){
			notprime[i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				//i mod p=0, phi(i*p)=p*phi(i)
				phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//i mod p!=0,phi(i*p)=phi(i)*(p-1)
		}
	}
}
inline LL power(LL a,LL b,LL mod){
	LL ret=1;
	while(b){
		if(b&1) ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
inline LL work(int p){
	if(p==1) return 0;
	return power(2,work(phi[p])+phi[p],p);
}
int main(){
	get_phi();
	int T=read();while(T--) std::printf("%lld
",work(read()));
	return 0;
}