ALGO-60 VIP试题 矩阵乘方

Posted 2020-11-27 nowhitebut

链接：http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T148

---

 

问题描述

　　给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。

　　其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。

　　要计算这个问题，可以将A连乘b次，每次都对m求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方)：

　　若b=0，则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。

　　若b为偶数，则A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m，即先把A乘b/2次方对m求余，然后再平方后对m求余。

　　若b为奇数，则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m，即先求A乘b-1次方对m求余，然后再乘A后对m求余。

　　这种方法速度较快，请使用这种方法计算A^b%m，其中A是一个2x2的矩阵，m不大于10000。

输入格式

　　输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。

输出格式

　　输出两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。

样例输入

2 2

1 1

0 1

样例输出

1 0

0 1

---

一道矩阵快速幂的模板题。

提一下什么是快速幂：幂运算是a^n 即n个a相乘。快速幂就是高效的算出a^n。当n过大时，即个计算不可取，易超时。此时可以用分治法的思想：先算a^2,然后再算(a^2)^2，一直到n次幂。

---

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn=2;
int n,m;
struct Matrix{
    int m[maxn][maxn];
    Matrix(){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
Matrix Multi(Matrix a,Matrix b){
    Matrix res;
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        for(int j=0;j<maxn;j++){
            for(int k=0;k<maxn;k++){
                res.m[i][j] =(res.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%m;
            }
        }
    }
    return res;
}
Matrix fastm(Matrix a,int n){
    Matrix res;
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        res.m[i][i]=1;
    }
    while(n){
        if(n&1){
            res=Multi(res,a);
        }
        a=Multi(a,a);
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    //看了一下评测记录，单位矩阵对m取余 居然是 0 0 0 0 我傻了，看来得去补补线代了 
    if(n==0){
        for(int i=0;i<maxn;i++){
            for(int j=0;j<maxn;j++){
                cout<<0<<" " ;
            }
            cout<<endl;
        }
        return 0;
    }
    Matrix a;
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        for(int j=0;j<maxn;j++){
            cin>>a.m[i][j];
        }
    }
    Matrix res=fastm(a,n);
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        for(int j=0;j<maxn;j++){
            cout<<res.m[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}