稳定匹配

Posted 2020-11-27 dialectics

问题背景：

　　n个男生和m个女生进行匹配约会，当然一个男生至多和一个女生约会，一个女生也至多和一个男生约会，并且每个男生心中都有一个对女生的排名表，即表示了这个男生更愿意与哪个女生约会，不同男生的排名表不一定相同，每个女生也都有一个对男生的排名表。现在要求你求一个匹配，这个匹配不含 不稳定因素。

　　不稳定因素：一个男生A，一个女生B，A与A‘匹配，B与B’匹配，但A更愿意与B匹配，B也更愿意与A匹配，具有这种性质的（A，B）就被称为不稳定因素。

数学模型：

　　两个点集：M,W,M={m₁,m₂,m_3……，m_n},W={w₁,w₂,w_3……，w_m},M和W的交集为空集，记M*W为M与的笛卡尔积，也就是所有（m,w）形成的二元有序对所构成的集合。匹配S为M*W的子集，且满足每个M的元素和每个W的元素至多出现在S的一个有序对中。

　　每个m对所有的w都有一个排名，每个w也对所有的m有一个排名。

　　稳定匹配是不包含不稳定因素的匹配。

　　不稳定因素：是一个有序对（m,w‘），且（m,w）,(m‘,w‘)属于匹配S，但m对w‘的排队（m所认为的w‘的排名）高于m对w的排名，且w对m的排名高于m对w‘的排名，这样（m,w‘）就是一个不稳定因素。

稳定匹配集求解算法：Gale-Shapley算法

　　初始，所有人都是自由的，称所有人的状态为自由。一个男生m向他的排名表上排名最高的女生w发起邀请，待所有男生都发送完邀请后，女生开始筛选邀请，即挑选她认为的排名最高的男生，二人的状变为约会。

　　然后那些仍处于自由状态的男生，按照他的排名表 顺序 邀请下一个人（也就是说，如果一个男生上一次邀请了排名为i的女生，这次他将邀请排名为i+1的女生），不管他所邀请的人是否处于约会状态。待所有自由状态的男生发送完邀请后，女生再次筛选邀请。重复此过程，直至所有男生都不再发送邀请，这时所得的匹配即为稳定匹配。

 

算法的有穷性：

 

　　因为一个男生不会邀请同一个女生两次，邀请次数最多为N*M时算法一定结束。

 

　　另一种思路：让人数少的集合表示男生，人数多的集合表示女生，即N<=M;假设存在一个男生邀请了M次后仍然没有匹配结果，那么此时M个女生都已经匹配（否则这个男生会被没有匹配结果的女生所接受），又每个女生的匹配对象不相同，男生中至少有一个人没有匹配对象，所以M<N，与假设相悖,所以假设错误，所有的男生都已经匹配。

 

正确性证明：反证法

　　假定结束时仍存在不稳定因素（m,w‘），此时m与w匹配，m‘与w‘匹配。分两种情况考虑：

　　　　第一：m在邀请w之前邀请过w‘，但w‘的最终匹配对象变成了m‘，这就说明了w‘认为m‘更加优秀，与我们的假设相悖。

　　　　第二：m没有邀请过w‘，也就直接说明了m认为w‘更加优秀，与我们的假设相悖。

　　　所以，假设错误，不存在不稳定因素。

结果的唯一性：

　　在选定了发起邀请的集合后，算法执行的结果是一定的。

定义匹配状态：执行完某轮邀请筛选后男女生的匹配状况。

证明：

　　状态转移的唯一性。开始所有人都处于自由状态，匹配状态唯一。进行第一轮，每个男生所邀请的对象都是确定的（他们排名表上的第一名），所以每个女生所接受到的邀请都是一定的，那么她们所接受的邀请也是一定的（她们排名表上靠前的那个）。所以进行完第一轮后匹配状态是一定的，然后第二轮中发送邀请的男生确定（仍处于自由状态的男生），他们邀请的对象确定（排名表上的下一名），因而第二轮结束后匹配状态也一定。重复下去，结束时匹配结果就是确定的。因而该算法执行结果唯一（前提：选定了发出邀请的一方）。

 

G-S性质：发起邀请的一方在算法执行过程中其匹配对象越变越差，接受邀请的一方在匹配过程中其匹配对象越变越好。

 

注意：稳定匹配存在多种，G-S算法求出的只是其中一种。但G-S算法所求出的匹配对发出邀请方最为有利，对邀请接受方最为不利。

定义：

　　有效伴侣：若存在一个稳定匹配使得m是w的匹配对象，则称m是w的有效伴侣。

　　最佳有效伴侣：在m的所有有效伴侣中m最满意的伴侣w为最佳有效伴侣，记作best(m)=w；

证明：G-S算法所求出的匹配中，邀请发出方中每个人都与其最佳有效伴侣相匹配。

　　假设G-S算法执行结束后存在男生没有和最佳有效伴侣组合，这样的男生叫做倒霉男，倒霉男都被自己的最佳有效伴侣拒绝过，取其中第一个被最佳有效伴侣拒绝的人，记为m，其最佳有效伴侣为w,记算法结束后w和m‘组合。又w是m的最佳有效伴侣，所以存在一个稳定匹配S’，m和w组合，假设在这个匹配中m‘和w‘组合，所以w‘也是m‘的有效伴侣。

　　第一种情况：对m‘来说w‘优于w，那么在S中，在m被w拒绝前，m‘被w‘拒绝，这也就说明了m‘早于m被有效伴侣拒绝，那么m‘一定更早的被最佳有效伴侣拒绝了，这与m是第一个被最佳有效伴侣拒绝的相矛盾。

　　第二种情况：对m‘来说w由于w‘，那么在S‘中，m‘,w形成不稳定因素，这与S’是一个稳定匹配矛盾。

　　综合这这两种情况，G-S算法中不存在倒霉男。

　　

扩展：该算法在一对多的时候也适用，即X部可以匹配多个或者Y部可以匹配多个,但当X部和Y部同时可以匹配多个点的时候不适用。

假设Y部点可以匹配多个点。则以X部点作为发出邀请方，Y部点在接收邀请时，检测是否能优化自身目前的选择，（优化：将一个好感度比当前邀请低的舍弃，使得整体的好感度上升）。

资料：http://www.icourses.cn/web/sword/portal/shareDetails?cId=3271#/course/chapter 第四章 时间：39：30 PS：这个老师讲的更加通俗易懂

比较详细的PPT：https://www.docin.com/p-2042973211.html 大力推荐！！！！！！