含参数的恒成立命题证明策略

Posted 2020-11-27 wanghai0666

前言

未完待续；

题型结构

形如：题目给定了某函数(f(x)=cfrac{ax^2+x-1}{e^x})，证明：当(age 1)时，(f(x)+ege 0)。

思路总结

1、利用不等式性质，消化掉题目中的参数；

2、利用左右相减做差构造新函数，证明新函数的最值；

3、若能分离参数，利用恒成立命题求解参数的取值范围，此范围只要包括(D)即可。

典例剖析

例1【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第21题】 函数(f(x)=acdot e^x-lnx-1)，

(1).设(x=2)是(f(x))的极值点，求(a)，并求(f(x))的单调区间。

分析：(f'(x)=ae^x-cfrac{1}{x})，由(f'(2)=0)，解得(a=cfrac{1}{2e^2})；

即(f(x)=cfrac{e^x}{2e^2}-lnx-1)；下面求单调区间，定义域是((0，+infty))，

[法1]：(f'(x)=cfrac{e^x}{2e^2}-cfrac{1}{x}=cfrac{1}{2e^2}cdot cfrac{xe^x-2e^2}{x})

到此，结合题目给定的(f'(2)=0)，猜想验证，写出结果，

当(0< x <2)时，(f'(x )<0)，当(x >2)时，(f'(x) >0)，

故单调递减区间是((0，2))，单调递增区间是((2，+infty))；

[法2]：令(f'(x)>0)，即(cfrac{e^x}{2e^2}>cfrac{1}{x})，即(xe^x-2e^2>0)，观察可得，(x >2)

同理，令(f'(x)<0)，可得(0< x < 2)，

故单调递减区间是((0，2))，单调递增区间是((2，+infty))；

(2).证明(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge 0)。

[法1]：已知题目(age cfrac{1}{e})是(f(x)ge 0)的充分条件，转化为求(f(x)ge 0)恒成立时，求解(a)的取值范围，即必要条件。

由题目(f(x)ge 0)可知，(ae^x-lnx-1 ge 0)，即(ae^xge lnx+1)，

分离参数得到(age cfrac{lnx+1}{e^x})恒成立，

令(h(x)= cfrac{lnx+1}{e^x})，只需要求得(h(x)_{max})，

(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}e^x-(lnx+1)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{cfrac{1}{x}-lnx-1}{e^x})

(=cfrac{1}{e^x}cdot cfrac{(1-x)-xcdot lnx}{x})，解题经验¹

当(0<x<1)时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，

当(x>1)时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，

故(x=1)时，函数(h(x)_{max}=h(1)=cfrac{1}{e})，

即(ageqslant cfrac{1}{e})，也就是说

当(age cfrac{1}{e})时，必然能得到(f(x)ge 0)，证毕。

小结：1、本题转而求(f'(x)ge 0)的必要条件。2、注意含有(lnx)或(ln(x+1))的表达式的分点的尝试，其实质是数学中的观察法。

[法2]：利用不等式性质，先将参数设法消化，

当(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge cfrac{e^x}{e}-lnx-1=g(x))，

此时只需要说明(g(x)_{min}ge 0)即可。

当(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge cfrac{e^x}{e}-lnx-1)，

设(g(x)=cfrac{e^x}{e}-lnx-1)，则(g'(x)=cfrac{e^x}{e}-cfrac{1}{x}=cfrac{1}{e}cdot cfrac{xe^x-1cdot e^1}{x})，

故用观察法容易得到

(0< x <1)时，(g'(x)<0)，(x > 1)时，(g'(x)>0)，

即(x=1)是函数(g(x))的最小值点，则(x>0)时，(g(x)ge g(1)=0)，

故(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge 0)。

例2【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第21题】已知函数(f(x)=cfrac{ax^2+x-1}{e^x}).

(1).求曲线(y=f(x))在点((0，-1))处的切线方程。

分析：(f'(x)=cfrac{(2ax+1)e^x-(ax^2+x-1)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{-ax^2+2ax-x+2}{e^x})

由(f'(0)=2)，故由点斜式得到切线方程为(y-(-1)=2(x-0))，即(2x-y-2=0)。

(2).证明：当(age 1)时，(f(x)+ege 0)。

证明：当(age 1)时，则有(ax^2+x-1geqslant x^2+x-1)，

则有(cfrac{ax^2+x-1}{e^x}+egeqslant cfrac{x^2+x-1}{e^x}+e=cfrac{x^2+x-1+e^{x+1}}{e^x}=(x^2+x-1+e^{x+1})cdot e^{-x})

即(f(x)+egeqslant (x^2+x-1+e^{x+1})cdot e^{-x})，

由于(e^{-x}>0)恒成立，故可以考虑甩掉她，转化为证明(x^2+x-1+e^{x+1}geqslant 0)即可；

令(g(x)=x^2+x-1+e^{x+1})，则(g'(x)=2x+1+e^{x+1})，解题经验²

当(x<-1)时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，当(x>-1)时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

故(g(x)_{min}=g(-1)=0)，故有(g(x)ge g(-1)=0)

则(g(x)cdot e^{-x}ge g(-1)cdot e^{-x}=0)，即(f(x)+ege 0)。

【解后反思】利用不等式性质，将参数的取值范围消化，然后问题转化为不含参数的不等式恒成立问题，再设法求新函数的最值。

例3

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1. 说明：此时有一个很实用的数学常识，当表达式中含有(lnx)时常常用(x=1)来尝试寻找分点。
   比如此题中(h'(1)=0)，然后分((0，1))和((1，+infty))两段上分别尝试判断其正负，从而得到如下：?

2. 导数的解答题到此，我们可以这样寻找分界点，当题目中含有(e^x)时，可以考虑用(x=0)来尝试分界点，由于(e^0=1)；当题目中含有(lnx)时，可以考虑用(x=1)来尝试分界点，由于(ln1=0)，我们很容易发现，(x=-1)是分界点，故可以这样写结果，?