递推·矩阵加速

Posted 2020-11-27 arknight

这个题其实很简单，简单分析一下规律，发现发f[i]=f[i-1]+f[i-2]。

如下图：

 

 

 

 程序：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5   int n,i,j,a[101];                  
 6   cin>>n;
 7   a[1]=1;a[2]=2;
 8   for (i=3;i<=n;i++) 
 9    {
10      a[i]=a[i-1]+a[i-2];
11 　   }
12 cout<<a[n];
13 } 

用这个代码，解决这个题的确很轻松。

可是只要稍微更改一下数据范围，就完全不一样了：

这样子，难度就完全不是一个等级了。

首先是不能开一个1000000000000000000的数组，那样肯定会爆内存。

我们可以用滚动的数组：

 1  1 #include<bits/stdc++.h>
 2  2 #define mod 1e9+7
 3  3 
 4  4 using namespace std;
 5  5 
 6  6 long long a[4] = {0,1,2};
 7  7 
 8  8 int main()
 9  9 {
10 10     freopen("brick.in", "r", stdin);
11 11     freopen("brick.out", "w", stdout);
12 12     int fbk;
13 13     cin >> fbk;
14 14     if (fbk==1)
15 15     {
16 16         cout << 1;
17 17     }
18 18     else if (fbk==2)
19 19     {
20 20         cout << 2;
21 21     }
22 22     else
23 23     {
24 24         for (int yousa = 3; yousa <= fbk-2; yousa++)
25 25         {
26 26             a[3] = (a[2] + a[1])%(long long)(mod);
27 27             a[1] = a[2];
28 28             a[2] = a[3];
29 29         }
30 30         cout << a[3] << "
";
31 31     }
32 32     
33 33     fclose(stdin);
34 34     fclose(stdout);
35 35 }

测试之后发现虽然内存占用很少，但是会超时。

这就用到我们的矩阵加速了：

矩阵乘法

矩阵乘法可以先稍作了解，知道矩阵相乘的运算法则

 

C[i][j]=∑k=1k=5A[i][k]∗B[k][j]

 

快速幂

快速幂要求解的是这样一类问题：

给你A,B,C，求A的B次方模C的余数

A,C<=10^9,B<=10^18

如果我们线性去求，时间复杂度是O（n）的，但题目中给出的B是很大的数，这样显然会超时,我们可以用快速幂来加速这个过程。

我们可以想像一下小学的时候我们如何计算2^16

2^16=4^8=16^4=256^2=65536

那如何计算2^18呢？

 

2^18=4^9=4∗4^8=4∗16^4=4∗256^2=4∗65536=262144

 

快速幂同理也是如此

我们可以按照上面做法，利用分治的思想求去解

这样原本O(n)的时间复杂度便降到了O(log n )

1 long long ans=1,base=a;
2 while(n>0){
3         if(n&1){
4             ans*=base;
5         }
6         base*=base;
7         n=n/2;
8     }

矩阵快速幂

矩阵快速幂的原理同快速幂一样，只是转换为了矩阵之间的乘法操作

所以单纯的重载一下运算符(写成函数的形式也可），将普通的乘法转换为矩阵乘法就好了。

矩阵加速

知道那个叫矩阵快速幂的东西后我们可以学矩阵加速了

斐波那契数列中的每一项都是前两项之和

我们考虑构造这么一个矩阵：每一次乘上这个矩阵都能从f[n-1],f[n-2]两项向后递推到f[n-1],f[n]这两项

那么关键就是如何构造这样的矩阵

(1  1

1   0)

对于这样一个矩阵我们有

(f[n−1]f[n−2])∗(1110)=(f[n]f[n−1])(f[n−1]f[n−2])∗(1110)=(f[n]f[n−1])

所以我们将每一次两项相加转换为了乘以一个转移矩阵

 

既然是乘法，每次乘以的也是同一个矩阵

我们可以利用矩阵快速幂的思想对于求解斐波那契数列加速

代码实现基本上是一致的，只需要构造一个转移矩阵来进行状态之间的转移即可

 1 struct mat{
 2     ll m[5][5];
 3 }a,ans;
 4 ll n,b,k; 
 5 mat mul(mat x,mat y,int flag){
 6     mat c;
 7     for(int i=1;i<=2;i++)
 8         for(int j=1;j<=2;j++)
 9             c.m[i][j]=0;
10     for(int i=1;i<=2;i++){
11         for(int j=1;j<=2;j++){
12             for(int q=1;q<=2;q++){
13                     c.m[i][j]=(c.m[i][j]+x.m[i][q]*y.m[q][j])%Mod;
14         
15             }
16         }
17     }
18     return c;
19 }
20 int main(){
21     cin >> n;
22     a.m[1][1]=1;a.m[1][2]=1;
23     a.m[2][1]=1;a.m[2][2]=0;
24     b=n-2;
25     ans.m[1][1]=1;
26     ans.m[1][2]=1;
27     while(b){
28         if(b&1){
29             ans=mul(ans,a,1);
30         }
31         a=mul(a,a,2);
32         b=b/2;
33     } 
34     if(n==1||n==2)cout<<1;
35     else cout<<ans.m[1][1]%Mod;
36 }

这样这个题就被解决了！