乘法逆元的线性筛法

Posted 2020-11-27 justinrochester

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线性求逆元题型

对于已知模数 (m) ，求出在模 (m) 意义下， (1)~(n) 的逆元 （ (nleq m-1) ）

(n) 较大，只支持 (O(n)) 复杂度的算法

(一般保证 (m) 是质数，否则有的数不存在逆元)

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线性算法 (O(n))

由递推的方法 (O(n))

考虑模 (m) 意义下 (1^{-1}equiv 1(mod m))

考虑求 (n) 的逆元，可知 (m=lfloor{mover n} floorcdot n+(mmod n))

记 (a=m/n,b=m\\%n) 则 (m=an+b,0leq b<n)

因此 (an+bequiv 0(mod m))

方程两边乘上 (n^{-1}) 得到

(a+bcdot n^{-1}equiv 0(mod m))

(n^{-1}equiv -acdot b^{-1}(mod m))

即 (n^{-1}equiv -lfloor{mover n} floorcdot (mmod n)^{-1}(mod m))

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    inv[i]=m-m/n*inv[m%n]%m;
}

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线性筛法 (O(n))

利用线性筛的性质，以及逆元在取模意义下的积性，可以很快写出线性筛的方法：

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(fc[i]==0){
        fc[i]=i;
        prime[cntprime++]=i;
        inv[i]=fpow(i,m-2);
    }
    for(int j=0;j<cntprime&&prime[j]<=fc[i];j++){
        inv[i*prime[j] ]=inv[i]*inv[ prime[j] ];
    }
}

因为质数的个数大约是 (nover ln n) 个，快速幂的复杂度 (O(log m)) ，(nleq m-1) ，因此质数部分的复杂度为 (O(n))

而合数的个数大约是 ((n-{nover ln n})) 它们是线性的，因此复杂度为 (O(n))

最终得出总复杂度为 (O(n))

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阶乘法 (O(n))

考虑到我们可以 (O(n)) 内求出 (forall ileq n,i!)

而我们可以花费 (O(log m)) 的时间求出 (n!^{-1}) ，由于 (nleq m-1) ，复杂度也可以认为是 (O(n)) 的

再利用公式： (i!^{-1}equiv (i+1)!^{-1}cdot (i+1)(mod m),i^{-1}equiv i!^{-1}cdot (i-1)!(mod m))

得出结论：

fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
    fac[i]=fac[i-1]*i%m;
}
invf[n]=fpow(fac[n],m-2);
for(int i=n-1;i>=0;i--){
    invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%m;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
    inv[i]=fac[i]*invf[i-1]%m;
}

总复杂度 (O(n))