平面最近点对问题

Posted 2020-11-27 zzqtxdy

平面上(n)个点，求距离最近的两个点的距离。

通过分治求解。把所有点按(x)排序，每次从最中间的那个点分开（设其横坐标为(M)），递归求解左右两区域的最近点对，再求跨过中线的最近点对。

设递归左右区域后，当前答案为(d)，显然：
1.如果想让(d)变小，就要找到距离(leq d)的点对，所以只用考虑横坐标与中线相差不超过(d)的点。
2.左右两区域内的点，两两距离(geq d)。

枚举左区域中的点((a,b))，需要考虑的右边的点只有横坐标不超过(M+d)，纵坐标在([b-d,b+d])内的点。考虑在一个(d*2d)的矩形内塞尽量多的点，使得两两距离(geq d)，这样的点最多有六个，所以整个算法的时间复杂度(O(nlog n))。

CF429D

一个长度为(n)的序列(a)，定义(f(l,r)=(r-l)^2+(sum_{i=l+1}^r a_i)^2)，求(f(l,r))的最小值。

明显就是(n)个点((i,s_i))求个最近点对。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mxn=100010;
struct nd{
    int x,y;
    bool operator<(const nd a)const{
        return y<a.y;
    }
}a[mxn],b[mxn];
int n;
LL ans;
LL dis(nd x,nd y){
    return 1ll*(x.x-y.x)*(x.x-y.x)+1ll*(x.y-y.y)*(x.y-y.y);
}
void solve(int l,int r){
    if (l==r) return;
    int M=a[mid].x;
    solve(l,mid),solve(mid+1,r);
    int d=sqrt(ans),cur=1,m=0;
    for (int i=mid+1;i<=r;++i)
        if (a[i].x<=M+d) b[++m]=a[i];
    for (int i=l;i<=mid;++i)
        if (a[i].x>=M-d){
            for (;cur<=m&&b[cur].y<a[i].y-d;++cur);
            for (int j=cur;j<=m&&b[j].y<=a[i].y+d;++j) ans=min(ans,dis(a[i],b[j]));
        }
    int pa=l,pb=mid+1,p=l;
    for (;pa<=mid&&pb<=r;)
        if (a[pa]<a[pb]) b[p++]=a[pa++];
        else b[p++]=a[pb++];
    for (;pa<=mid;b[p++]=a[pa++]);
    for (;pb<=r;b[p++]=a[pb++]);
    for (int i=l;i<=r;++i) a[i]=b[i];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1,x,s=0;i<=n;++i)
        scanf("%d",&x),a[i]=(nd){i,s+=x};
    ans=1e18;
    solve(1,n);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}