prim算法和kruskal算法--解最小生成树问题

Posted 2020-11-27 hubowen1

Prim算法原理：

1）以某一个点开始，寻找当前该点可以访问的所有的边；
2）在已经寻找的边中发现最小边，这个边必须有一个点还没有访问过，将还没有访问的点加入我们的集合，记录添加的边；
3）寻找当前集合可以访问的所有边，重复2的过程，直到没有新的点可以加入；
4）此时由所有边构成的树即为最小生成树。

Kruskal算法原理：

现在我们假设一个图有m个节点，n条边。首先，我们需要把m个节点看成m个独立的生成树，并且把n条边按照从小到大的数据进行排列。在n条边中，我们依次取出其中的每一条边，如果发现边的两个节点分别位于两棵树上，那么把两棵树合并成为一颗树；如果树的两个节点位于同一棵树上，那么忽略这条边，继续运行。等到所有的边都遍历结束之后，如果所有的生成树可以合并成一条生成树，那么它就是我们需要寻找的最小生成树，反之则没有最小生成树。

简单来说prim算法即是从任意点开始找最小权值的边 多对应的点连线，而kruskal算法是先将所有小权值的线从小到大先连起来最后再将点连起来。两种算法的结果都不能是回路且所有的点都要被连到且经过一次

 

以下是代码：

prim：

#include<stdio.h>
#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff

int graph[MAX][MAX];

void prim(int graph[][MAX], int n)
{
int lowcost[MAX];
int mst[MAX];
int i, j, min, minid, sum = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放顶点1可达点的路径长度
mst[i] = 1;//初始化以1位起始点
}
mst[1] = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
min = MAXCOST;
minid = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
{
min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度
minid = j; //找出最小的ID
}
}
printf("V%d-V%d=%d ",mst[minid],minid,min);
sum += min;//求和
lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新
{
lowcost[j] = graph[minid][j];
mst[j] = minid;
}
}
}
printf("最小权值之和=%d ",sum);
}
int main()
{
int i, j, k, m, n;
int x, y, cost;
//freopen("1.txt","r",stdin);//文件输入
scanf("%d%d",&m,&n);//m=顶点的个数，n=边的个数

for (i = 1; i <= m; i++)//初始化图
{
for (j = 1; j <= m; j++)
{
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}
for (k = 1; k <= n; k++)
{
scanf("%d%d%d",&i,&j,&cost);
graph[i][j] = cost;
graph[j][i] = cost;
}

prim(graph, m);
return 0;
}

 

 

kruskal：

#include <stdio.h>
#define MAXE 100
#define MAXV 100
typedef struct{
int vex1; //边的起始顶点
int vex2; //边的终止顶点
int weight; //边的权值
}Edge;
void kruskal(Edge E[],int n,int e)
{
int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;
int vset[n+1];
for(i=1;i<=n;i++) //初始化辅助数组
vset[i]=i;
k=1;//表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1
j=0;//E中边的下标，初值为0
while(k<e)//生成的边数小于e时继续循环
{
m1=E[j].vex1;
m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点
sn1=vset[m1];
sn2=vset[m2];
//分别得到两个顶点所属的集合编号
if(sn1!=sn2)//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边
{//防止出现闭合回路
printf("V%d-V%d=%d ",m1,m2,E[j].weight);
sum+=E[j].weight;
k++; //生成边数增加
if(k>=n)
break;
for(i=1;i<=n;i++) //两个集合统一编号
if (vset[i]==sn2) //集合编号为sn2的改为sn1
vset[i]=sn1;
}
j++; //扫描下一条边
}
printf("最小权值之和=%d ",sum);
}
int fun(Edge arr[],int low,int high)
{
int key;
Edge lowx;
lowx=arr[low];
key=arr[low].weight;
while(low<high)
{
while(low<high && arr[high].weight>=key)
high--;
if(low<high)
arr[low++]=arr[high];

while(low<high && arr[low].weight<=key)
low++;
if(low<high)
arr[high--]=arr[low];
}
arr[low]=lowx;
return low;
}
void quick_sort(Edge arr[],int start,int end)
{
int pos;
if(start<end)
{
pos=fun(arr,start,end);
quick_sort(arr,start,pos-1);
quick_sort(arr,pos+1,end);
}
}
int main()
{
Edge E[MAXE];
int nume,numn;
//freopen("1.txt","r",stdin);//文件输入
printf("输入顶数和边数: ");
scanf("%d%d",&numn,&nume);
for(int i=0;i<nume;i++)
scanf("%d%d%d",&E[i].vex1,&E[i].vex2,&E[i].weight);
quick_sort(E,0,nume-1);
kruskal(E,numn,nume);
}